luciano buggio wrote:
> Franco ha scritto:
> Egli in ogni caso non affermer� che la porzione che gli risulta piana sia
> nella realt� tale, perch� conosce i limiti del suo strumento.
Stai ragionando per analogia fra due situazioni che non sono compatibili
e questo ti porta a conseguenze o a classificazioni sbagliate.
Una cosa e` la misura con il suo errore e fa parte della teoria delle
misure, l'altra invece e` la modellabilita` di un oggetto con una
relazione lineare o comunque preassegnata.
Se lo sperimentatore lavora su una area troppo piccola, NON misura
curvatura nulla, NON trova che la sfera e` piana. Semplicemente misura
un valore di curvatura che e` dato dagli errori dello strumento.
Trovera`, ripetento le misure, che qualche volta la curvatura e`
positiva, qualche altra volta e` negativa, con una tolleranza che e`
dato dalla risoluzione e precisione dello strumento.
> Oppure afferrmer�, egli, che la sfera � "localmente piatta",
Se non sa che sta lavorando su una sfera, puo` dire che la superficie e`
localmente piatta, entro con un certo intervallo di confidenza.
Se invece sa che si trova su una sfera, trovando che il valore di
curvatura sballonzola fra vari valori positivi e negativi, puo` dire che
localmente e` piatta in quanto entro quell'area non c'e` modo di
accorgersi della differenza. Un geometra o un agrimensore usa la
geometria piana, anche se sta misurando un terreno che e` su una sfera.
Commette un errore? Dal punto di vista della geometria piana certamente.
E` importante? No. Puo` essere misurato questo errore? No. Ma questo,
ripeto, fa parte della teoria della misura (ti invito ad andare a
studiare lo url che ti avevo passato, ma posso dubitare che lo farai)
Quando non riesci a misurare una quantita` perche' e` al disotto della
soglia dello strumento, il piu` delle volte non trovi zero, trovi una
variabile casuale che un po' e` positiva, un po' e` negativa e che
sommerge nel rumore di misura il valore che vorresti avere.
> Egli sicuramente non correr� il rischio (n� avr� il porblema) di dire che
> la superficie sferica � localmente piatta, che cio� per un'opportuno
> valore dell'intorno di un punto la superficie piana e la superficie
> sferica coincidono.
Qui non riesco a spiegartelo, perche' dovresti conoscere un po' di
analisi matematica. Un matematico dira` che in un intorno del punto, la
sfera si avvicina di quanto si vuole al piano. Nota che e` importante la
frase "di quanto si vuole".
> Nella definizione di limite � come se si fosse in possesso di uno
> strumento di misura la cui risoluzione pu� essere aumentata a piacere,
> cosa che non succede con gli strumenti di misura reali che si usano in
> fisica, per quanto corra la tecnologia.
Questa e` una visione del limite antiquata e sbagliata, del tipo vediamo
quanto vale la funzione quando vado vicino vicino al punto che mi interessa.
> Egli dir� che in ogni punto esiste un piano tangente alla superficie
> sferica, la quale avr� in comune con esso solo il punto di tangenza.
> Al massimo ridurr� l'"identit�" superficie sferica-piano solo a quel punto.
Stai dimenticando l'analisi matematica :-). Potrebbe anche definire
un'altra superficie tangente che tocca la sfera in un solo punto e che
in quel punto non solo ha la stessa "direzione" ma ha anche la stessa
*curvatura*. Ma solo con la geometria, senza analisi, questo non si
riesce a spiegare. Ci sono delle tangenti dritte e delle tangenti curve,
che sono migliori di quelle dritte, e anche queste toccano in un solo
punto. [qui sto andando un po' oltre a quanto era il problema iniziale,
ma solo per far vedere che il concetto di "tangente che tocca in un solo
punto" e` inadeguato, ci vuole il calcolo differenziale]
> Ma in quel punto pu� immaginare che alla sua sfera sia tangente un'altra
> sfera, o qualsiasi altra cosa, ed allora l'identit� si pu� dichiarare con
> checchessia, non ha nessun senso.
Credo stia ragionando con la geometria dei punti e delle rette, non con
la geometria differenziale. Nella geometria differenziale le tangenze
fra curve diverse, tangenti di ordine elevato sono fondamentali (si
chiamano sviluppi in serie). Se poi si fa un passo avanti, si passa a
cose ancora piu` complicate, tipo i manifold e altre bestie del genere.
>
> Ora, vorrrei sapere se l'enunciato del PE si colloca nel primo o nel
> secondo scenario.
In nessuno dei due (o dei tre, se ci fai caso ho introdotto prima un
terzo caso), perche' non sono della stessa classe.
La curvatura dello spazio tempo e` definita da un oggetto matematico con
tanti numeri dentro, numeri che cambiano quando ci si sposta. Se ti
limiti a un intorno di un punto, puoi fare una approssimazione lineare
che si avvicina *di quanto vuoi* alla realta`.
Vedi cosa ti ha scritto bruno, che ti ha detto cosa vuol dire localita`
del PE. In quel modo sai anche per quale scenario vale la mia risposta
di un ascensore alto 1847 mm.
Direi che abbia un concetto di tangente e di limite "pre analisi": sono
un po' di secoli che ci hanno lavorato su, e una delle sistemazioni
classiche al concetto e` quello dato da cauchy: prima si facevano
pastrocchi non indifferenti, analoghi a quelli che stai facendo tu :-).
Purtroppo con la geometria di euclide non si va tanto lontano :-).
Ovviamente non mi aspetto che interpreti correttamente quanto ho
scritto, ma, per altri lettori, questo post potrebbe essere utile. Per
approfondimenti le risposte di bruno ed elio sono decisamente migliori.
--
Franco
Wovon man nicht sprechen kann, dar�ber mu� man schweigen.
(L. Wittgenstein)
Received on Thu May 22 2003 - 06:55:00 CEST