Re: differenziali

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_univ.trieste.it>
Date: Wed, 26 Mar 2003 15:41:11 +0100

Spero che ne' tu ne' Elio vi risentirete se mi inserisco. E poi sui
differenziali si puo' andare avanti per pagine e pagine :-)

pol wrote:
>
> Ho letto che i differenziali, ad esempio dx, possono essere considerati o
> come grandezze infinitesime o come grandezze finite, anche grandi.
...

Prima di rispondere alla tua domanda vorrei farti riflettere sull' uso
che fai del termine infinitesimo. E' un uso non giustificabile all'
interno dell' analisi (almeno quella standard) perche' comporterebbe l'
introduzione di enti diversi dai numeri reali. Il permanere di
incertezze sull' argomento risente delle impostazioni pioneristiche
dell' analisi e di una perdurante cattiva didattica.

Nell' analisi standard si parla di infinitesimi ma solamente nel senso
di funzioni che hanno limite zero (e quindi analisi dell' ordine di
infinitesimo etc. etc.). Infinitesimo come "quantita' piu' piccola di
qualsiasi numero" e' invece un concetto che non ha cittadinanza in
analisi standard. L' unico punto di contatto (ed e' dove trova
giustificazione l' uso che se ne fa in molta fisica) e' nel "teorema
del differenziale" che garantisce (sotto opportune ipotesi) che l'
approssimazione dell' incremento finito di una funzione mediante il suo
differenziale (*) e' (localmente) la migliore possibile. Questo permette
di razionalizzare l' uso di una terminologia che fa riferimento ai
differenziali come quantita' piccole ma senza collidere con le
fondazioni logiche dell' analisi standard.

Puoi provare quindi a reinterpretare le tue domande alla luce di queste
considerazioni.

Giorgio



(*) Possibile definizione "pulita" di differenziale df di una funzione
f (reale di variabile reale, per non complicare troppo la notazione, e
derivabile):

df: R^2 -> R | (x,x0) -> f'(x0)*( x - x0 ) con f'(x0) derivata
prima di f in x0

da cui discende dx = (x-x0) , che e' un numero reale qualsiasi (grande o
piccolo non importa!), e che permette di riscrivere df = f'(x0)*dx,
nonche' di dare consistenza alla scrittura df/dx per la derivata prima.
Received on Wed Mar 26 2003 - 15:41:11 CET