> Spero che ne' tu ne' Elio vi risentirete se mi inserisco.
Figurati Giorgio! Non � una questione tra me ed Elio e solo che ho letto dei
suoi interventi sull'argomento ed ho pensato di "costringere" :-) qualcuno
esperto a rispondermi, interpellandolo direttamente.
> Prima di rispondere alla tua domanda vorrei farti riflettere sull' uso
> che fai del termine infinitesimo. E' un uso non giustificabile all'
> interno dell' analisi (almeno quella standard) perche' comporterebbe l'
> introduzione di enti diversi dai numeri reali.
Potresti spiegarmi meglio qiuesto punto?
> Nell' analisi standard si parla di infinitesimi ma solamente nel senso
> di funzioni che hanno limite zero (e quindi analisi dell' ordine di
> infinitesimo etc. etc.).
S�, questo lo so ed infatti mi chiedevo che nesso ci fosse tra le funzioni
infinitsime ed il concetto di quantit� infinitamente piccola.
>Infinitesimo come "quantita' piu' piccola di
> qualsiasi numero" e' invece un concetto che non ha cittadinanza in
> analisi standard.
Ho letto anche questo, ma ovunque si trova questo "abuso". Perch�, tornando
alla mia prima domanda di questa mail, il concetto di quantit� infinitamente
piccola richiederebbe l'introduzione di enti diversi dai numeri reali??
> L' unico punto di contatto (ed e' dove trova
> giustificazione l' uso che se ne fa in molta fisica) e' nel "teorema
> del differenziale" che garantisce (sotto opportune ipotesi) che l'
> approssimazione dell' incremento finito di una funzione mediante il suo
> differenziale (*) e' (localmente) la migliore possibile. Questo permette
> di razionalizzare l' uso di una terminologia che fa riferimento ai
> differenziali come quantita' piccole ma senza collidere con le
> fondazioni logiche dell' analisi standard.
Ti dico cosa penso di ci� pi� avnti.
> da cui discende dx = (x-x0) , che e' un numero reale qualsiasi (grande o
> piccolo non importa!), e che permette di riscrivere df = f'(x0)*dx,
> nonche' di dare consistenza alla scrittura df/dx per la derivata prima.
Perfetto! Questa � la definizione pulita che mi d� anche il Silvestrini.
Quando scrivo df/dx, quindi, mi riferisco ad un rapporto tra quantit� finite
(i differenziali delle due variabili per l'appunto, no?), per� ovunque leggo
che dx � un incremento infinitamnete piccolo, ecc. ecc. Provo a
reinterpretare le cose sulla base di ci� che tu ed il Silvstrini mi dite.
Premettendo che:
1) la derivata � il rapporto tra due differenziali
2) i differenziali esprimono quantit� finite
credo sia possibile affermare che il generico df altro non sia che un
incremeno di f a partire da f(xo) lungo la tangente ad f in xo. Insomma
sarebbe come ragionare in termini di una funzione che da un punto in poi
(xo) � come se divenisse lineare (intendo dire "esprimibile da una retta",
che � la tangente). Questo ovviamnete vale in elat� soltanto per la porzione
di diagramma "immediatamente" attigua a f(xo) e ben presto (col variare
della pendenza) bisogner� nuovamente ripetere il discorso. Ma
quel'immediatamente" mi fa tornare in tsta il concetto di quantot�
infinitamnte piccola.(che per� ho capito che non va cjhiamata infinitesima).
In fondo quando parlo di velocit� istantanea in to , parlo di una grandezza
che, se la funzione f(t) da to in poi coincidesse con la tangente in to,
sarebbe la velocit� istantanea per ogni t>to. Non so se mi sono spiegato
:-( Io stesso, quando vedo trattare i differenziali come se fossero normali
nmeri (ed in realt� lo sono, ma non quando vengono considerate come quatit�
infinitamnete piccole) mi domando come sia possibile concepire operazioni
aritmetiche tra numeri ed incrementi indefinitamnente piccoli! Ed � proprio
questo che mi ha confuso e che mi ha spinto a coniderare che evidentemente
con dx potessero venire indicate due cose diverse:
- il differenziale pulito
- quantit� infinitamente piccole.
Se tutto ci� che ho detto (caoticamente) � vero, mi spiegheresti come mai si
faccia tanta confusione ovunque in fisica? Basterebe capire cos'� il
differenziale, ed il concetto di quantit� infinitamente piccola (distinto da
quello analitico di funzione infinitsima) non dovrebbe n� essere utilizzato
come un numero n� rappresentato da questo o quel simbolo: lo si
utilizzerebbe solo come "concetto", sicuramente fondamentale, per calcolare
i limiti delle funzioni. E' riduttivo ci� ched ico? Fammi sapere. Grazie
Giorgio.
Received on Wed Mar 26 2003 - 21:18:57 CET
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