Re: differenziali

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_univ.trieste.it>
Date: Thu, 27 Mar 2003 18:44:19 +0100

pol wrote:
...
> >... infinitesimo. E' un uso non giustificabile all'
> > interno dell' analisi (almeno quella standard) perche' comporterebbe l'
> > introduzione di enti diversi dai numeri reali.
> Potresti spiegarmi meglio qiuesto punto?

Se prendi veramente sul serio gli infinitesimi (e si puo' fare nell'
analisi non-standard) dovresti supporre di avere, oltre ai reali usuali,
anche degli altri "reali infinitesimi" (i d(qualcosa), per intenderci,
che godono essenzialmente della proprieta' che x + d(qualcosa) = x ed
altre cose del genere che, nei reali usuali non funzionano per qualsiasi
elemento diverso da zero.


...
>... Perch�, tornando
> alla mia prima domanda di questa mail, il concetto di quantit� infinitamente
> piccola richiederebbe l'introduzione di enti diversi dai numeri reali??

Vedi sopra. Il concetto di "infinitamente piccolo" serve (serviva) nelle
manipolazioni "garibaldine" dell' analisi pre-ottocentesca per
giustificare la "scomparsa" di certi termini rispetto ad altri. Ma per
far questo coerentemente dovresti avere numeri reali che
contemporaneamente godono delle proprieta' dello zero senza esser nulle
(i fantasmi di quantita' evanescenti della critica di Berkeley).

....
... Provo a
> reinterpretare le cose sulla base di ci� che tu ed il Silvstrini mi dite.
> Premettendo che:
> 1) la derivata � il rapporto tra due differenziali


NOOOO! attenzione a non uscire fuori strada subito :-)
Io ho solo scritto che con una definizione pulita di differenziale si
puo' dare significato consistente alla notazione df/dx = f'. Ma questo
non vuol dire che definirei la derivata come rapporto dei due
differenziali. Sarebbe un mordersi la coda. Infatti avevo *definito* df
mediante la derivata. Quindi non posso piu' usare df per definire la
stessa.
Aggiungo, per chi sa qualcosa di piu', che volendo si potrebbe
introdurre la derivata a partire dal concetto di miglior apporssimazione
lineare agli incrementi locali di una funzione. Per esempio, questo
punto di vista e' estremamente utile in analisi funzionale. Tuttavia se
sei all' inizio della decifrazione dell' analisi classica, ti
consiglerei di considerare la frase precedente come scritta in piccolo
(da saltare in prima lettura!).

> 2) i differenziali esprimono quantit� finite

Banalmente perche' non esistono gli infinitesimi (in atto).

> credo sia possibile affermare che il generico df altro non sia che un
> incremeno di f a partire da f(xo) lungo la tangente ad f in xo. Insomma
> sarebbe come ragionare in termini di una funzione che da un punto in poi
> (xo) � come se divenisse lineare (intendo dire "esprimibile da una retta",
> che � la tangente).

Perfetto.

> Questo ovviamnete vale in elat� soltanto per la porzione
> di diagramma "immediatamente" attigua a f(xo) e ben presto (col variare
> della pendenza) bisogner� nuovamente ripetere il discorso. Ma
> quel'immediatamente" mi fa tornare in tsta il concetto di quantot�
> infinitamnte piccola.

Si' ma con la differenza che qui si resta nell' ambito dell' analisi
classica. L' approssimazione dell' incremento della funzione con la
migliore approssimazione lineare (il differenziale) vale in un intorno.
Quanto e' grande (o piccolo) un intorno non e' specificato (ed e'
corretto che sia cosi').

...
> Se tutto ci� che ho detto (caoticamente) � vero, mi spiegheresti come mai si
> faccia tanta confusione ovunque in fisica?

Mah, il mio punto di vista e' che nell' insegnamento (e nei libri) c'e'
spesso una stratificazione di concetti e di tradizioni didattiche di cui
a volte si e' perso coscienza. In alcuni casi, quelli in cui
storicamente ci sono stati usi incoerenti o contraddittori di concetti,
questi "remnant" di antiche diatribe provocano un senso di disagio o
delle manifeste contraddizioni la cui origine non sempre viene
adeguatamente spiegata allo studente, col risultato di perpetuare la
situazione.

E da questo punto di vista mi sembra che molte delle FAQ dei NG
scientifici siano una testimonianza della situazione di fatto.

Giorgio
Received on Thu Mar 27 2003 - 18:44:19 CET

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