Elio Fabri ha scritto:
<cut>
> L'idea, espressa in termini astratti, e' che occorre definire una
> struttura che sostituisca quella che manca: sara' quella che si chiama
> _connessione affine_.
> Cio' si puo' fare in piu' modi:
> a) definendo una derivata covariante
> b) definendo il trasporto parallelo
> c) definendole geodetiche.
> (Confesso pero' che la sola presentazione rigorosa che conosco e' quella
> che parte da a) e arriva a b) e c): non so se sia possibile anche
> partire da b), nel senso di dare una definizione assiomatica di tr.
> parallelo, e problema analogo ho per c), anche se conosco la costruzione
> di Schild, che mostra come costruire il tr. parallelo date le
> geodetiche.)
> Mi pare che il vantaggio di partire da a) sia che si tratta di una
> definizione differenziale, quindi locale, mentre b) e c) coinvolgono
> punti distanti, quindi mi pare pongano problemi di compatibilita'
> piuttosto complessi.
Ecco un discorso maledettamente chiaro, che condivido pienamente.
Fra l'altro certe pseudo-definizioni di spostamenti paralleli
"infinitesimi" usano di fatto derivazioni mascherate.
> Si danno percio' gli assiomi che caratterizzano una derivata covariante
> D (senza torsione, ovvero simmetrica, perche' ci basta) sulla varieta'
> differenziale M, e non credo utile ora riportarli e discuterli: mi basta
> dire che cosi' sappiamo, dato un campo vettoriale v su M, come definire
> D(P,u,v) da leggersi "derivata di v nel punto P rispetto a u"
> (arbitrario vettore dello spazio tangente in P).
> Fino a questo punto la definizione e' largamente arbitraria: si dimostra
> che si puo' caratterizzare la D (ossia la connessione affine) scegliendo
> un sistema di coordinate e assegnando i _coefficienti di connessione_
> \Gamma^i_{jk} (simmetrici in j,k): funzioni a valori reali su M che
> dipendono in modo complicato dal sistema di coord.: non sono le comp. di
> un tensore.
Insoddisfatto del modo nel quale il trasporto parallelo e' presentato
sui (pochi) testi a me noti (Landau, ecc.), tempo fa mi ero autocostruito
una definizione assiomatica della derivata di un campo vettoriale su una
curva assegnata (incontrando qualche difficolta' nel formulare un
assioma di simmetria che determinasse in seguito le proprieta' dei simboli
di Christoffel).
Pertanto mi interesserebbe molto confrontare le mie elucubrazioni con la
presentazione assiomatica della derivata covariante da te citata.
Potresti brevemente elencare il suddetto set di assiomi (anche senza
discuterli) o almeno indicarmi un testo nel quale si proceda secondo
questa logica?
Grazie!
--
Elio Proietti
Debian GNU/Linux
Received on Sun Mar 23 2003 - 21:58:32 CET