> grazie per la precisazione. Mi sono espresso prorpio male: pensavo al
> nostro spazio di Hilbert e quindi alludevo a spazi topologici metrici.
> Spero di non aver creato ulteriore confusione in Andrea.
> ciao
No, riesco a seguire abbastanza il discorso. Solo che adesso
stavo cercando di ricordare in cosa la completezza in senso
topologico alla quale accenni, differisce dall'esistenza
di un sistema (ortonormale) completo.
Vado a memoria: completezza (nel senso topologico che intendi)
immagino sia la garanzia che data una qualsiasi successione
convergente di elementi dello spazio, tale succ. converge ad
un elemento dello spazio. Tanto e' vero che mi sembra di ricordare che
alcuni spazi, che non godono di questa proprieta' possono essere
"completati".
In questo senso immagino valga per spazi dove e' definito
almeno il concetto di intorno (quindi gli spazi metrici
ce li prendo). Quelli topologici in generali non so, ma in
generale se ricordo bene la definizione, in uno spazio topologico
e' solo definito un sistema di insiemi aperti e chiusi,
quindi in spazi topologici in generale non mi aspetto che valga
(se ho capito bene il senso della tua risposta sopra era questo).
Il problema e' che non riesco a vedere in cosa differisca
cio' dal fatto che esiste una successione (ortonormale)
di elementi completa. (Valter ha detto giustamente che
completezza e separabilita' sono indipendenti: non ho
dubbi, ma il problema e' che adesso come adesso non riesco
a vederlo)
Cioe', puo' esistere uno spazio dove non vale la proprieta'
di completezza (come detta sopra) e allo stesso tempo esistere
un sistema di elementi di base? In effetti, perche' no?
Purtroppo non ho sottomano dei libri di analisi funzionale
Aspetta, giusto adesso mi sovviene una altra definizione di
completezza: quella in senso di Cauchy (che assicura la
convergenza di una successione di elementi se posso trovarne
almeno due vicini a piacere). Mi sa che e' questa la completezza
nell'usuale senso topologico che intendevi?
Ma quante sono in effetti le proprieta' di "completezza"?
C'e' questa nel senso di Cauchy, e c'e' quell'altra sull'esistenza
del limite all'interno dello spazio (magari queste due sono
equivalenti). Poi c'e' la questione di un sistema di vettori di
base "completo"...
Una e' legata alla separabilita', e l'altra no.
Magari qualche minuto fa non avevo le idee confuse, adesso si'.
(comunque niente che non si possa risolvere con qualche buon libro
e in ogni caso non preoccuparti troppo, sopravvivo lo stesso...).
Andrea.
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Received on Thu Mar 13 2003 - 16:27:44 CET