Re: riempimento delle bande dei solidi cristallini: bande vuote e bande piene o semipiene?

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_univ.trieste.it>
Date: Wed, 26 Feb 2003 10:43:29 +0100

Roberto wrote:
...

> Applicando l'hamiltoniano H=p^2/2m + V(r) a k fissato a questa psi_k
> si ha che la u_k soddisfa una equazione del tipo
>
> [ h^2/2m * (nabla/i +k)^2 + V - E_k]*u_k = 0
>
> con un insime di autovalori discreti che si chiamano E_kn
>
> Cio� a ogni k corrispondono infiniti livelli discreti di energia per
> il nostro elettrone nel cristallo a potenziale periodico.

Dipende. In principio non puoi escludere la presenza di una parte
continua dello spettro, oltre quiella discreta.

 
> Si pu� qualitativamente affermare che variando di poco k non varia
> molto nemmeno E_kn e cos� si dice che E_kn � un funzione continua di k
> cio� E_n (k) che � l'energia della n-esima banda del solido.

Credo che l' affermazione sia qualcosa piu' che qualitativa. Se non
ricordo male dovrebbe essere possibile dimostrarlo analiticamente.
 
> Ora per il riempimeno delle bande dovrebbe funzionare cos�:
> i possbili vettori k ammessi sono N tanti quanti i punti del reticolo
> diretto. (viene dalle condizioni al contorno)

Questo e' vero per un cristallo finito (con condizioni periodiche) fatto
da N celle. Al limite termodinamico i K divengono infiniti (e densi). La
continuita' di cui sopra vale solo in questo limite.

...
> Se ci sono elettroni per cella primitiva in numero dispari si dice
> che non c'� gap se sono in numero pari c'� gap.
> Ovvero aggiungendo un elettrone questo nel caso dispari occupa un
> livello di energia che � lo stesso dell'elettrone a energia pi� alta
> precedentemente disponibile, nel caso pari invece deve prendere un
> livello pi� alto, la cui distanza � detta gap.

Qui devi fare attenzione. Il gap ( o la ? la questione e' ottima per
i.c.l.i ) e' un intervallo di energie proibite nello spettro. In quanto
tale non dipende direttamente dall' ulteriore analisi per punti k (a
merno di non voler distinguere tra gap diretti - stesso k - o indiretti
-k diverso ) e sporattutto non ha ancora una connessione diretta con i
riempimenti degli stati di particella singola. In pratica il gap che e'
piu' importante (perche' rilevante per le proprieta' del cristallo e'
quello (eventuale) tra stati pieni e vuoti a temperatura 0.

La questione del numero pari o dispari di elettroni per cella e'
rilevante solo per quest' ultimo punto: se ho una banda in cui ci sono
2N stati (tenendo conto della degenerazione di spin) e ho 2N elettroni,
la riempio tutta e l' eventuale gap con la banda successiva sara' anche
il gap per l' eccitazione di uno di questi elettroni. Se ho solo N
elettroni, la banda sara' piena a meta' e quindi nella stessa banda
avro' stati vuoti ad energia prossima a quella del piu' alto stato
pieno.


> Ora viene la domanda.
> Avere bande semipiene � importante per classificare un cristallo come
> metallo e allora: in che modo si possono ottenere situazioni in cui
> alcune bande sono semipiene?

vedi sopra.

> Un modo che mi viene in mente � quello di cui sopra in cui mi ritrovo
> con elettroni per cella in numero dispari e cio� sono sicuro di avere
> una intera banda con 1 sono elettrone, cio� mezza pienza (nel
> disegnino di prima era la n=3)

Se intendi 1 elettrone per punto k si'.
 
> Ma mi chiedo ci possono essere bande che condividono un intervallo di
> energia anche a valori di k differenti?

In piu' di 1 dimensione spaziale si'. 1 D e' un caso peculiare perche'
in quel caso l' analisi vieta l' esistenza di piu' di 2 punti k con la
stessa energia ( ci sarebbero piu' di 2 soluzioni indipendenti di un'
eq. diff. ordinaria lineare del 2ndo ordine).

> Come avviene il riempimento in questo caso?

In ordine di energia: ordini le tue bande per energia e comunci a
riempire dal minimo fino ad esaurire il n. di elettroni. Se si e'
verificato un overlap tra bande diverse dovrai riempire tutti i lobi
delle banda che cascano sotto il livello di Fermi.

 
> Ci sono altri modi di avere una o pi� bande parzialmente riempite?

A parte n. dispari di el. per cella e overlap di bande diverse non mi
risulta (in un cristallo perfetto). Naturalmente il mondo reale e' piu'
complicato e i cristalli possono contere varie imperfezioni che possono
modificare le semplici "stechiometrie" tra n. di celle e n. di elettroni
di cui sopra.

Giorgio
Received on Wed Feb 26 2003 - 10:43:29 CET