riempimento delle bande dei solidi cristallini: bande vuote e bande piene o semipiene?

From: Roberto <foice_at_tiscalinet.it>
Date: Fri, 21 Feb 2003 15:09:02 +0100

Ciao a tutti.
Vi vorrei sottoporre un mio dubbio a riguardo del meccanismo di
riempimento delle bande dei solidi cristallini.

la funzione d'onda (fdo) di un elettrone in approx di particella
indipendente da tutti gli altri elettroni soddisfa il Teorema di Bloch
per cui data la periodicit� del potenziale del cristallo la fdo �
psi (r) = exp(ikr) * u(r)
dove u � peridica come il reticolo
Applicando l'hamiltoniano H=p^2/2m + V(r) a k fissato a questa psi_k
si ha che la u_k soddisfa una equazione del tipo

[ h^2/2m * (nabla/i +k)^2 + V - E_k]*u_k = 0

con un insime di autovalori discreti che si chiamano E_kn

Cio� a ogni k corrispondono infiniti livelli discreti di energia per
il nostro elettrone nel cristallo a potenziale periodico.

Si pu� qualitativamente affermare che variando di poco k non varia
molto nemmeno E_kn e cos� si dice che E_kn � un funzione continua di k
cio� E_n (k) che � l'energia della n-esima banda del solido.


^ E
|_ _ E_2(k)
| _ _
| _ _
| _ _ _
|
| _
| _ _
| _ _
| _ _
| _ _ E_1(k)
---------------------> k

Ora per il riempimeno delle bande dovrebbe funzionare cos�:
i possbili vettori k ammessi sono N tanti quanti i punti del reticolo
diretto. (viene dalle condizioni al contorno)

Se n_e � il numero di elettroni in ogni cella primitiva del reticolo
diretto ci sono n_e elettroni a riempire i livelli discreti che si
hanno per un k fissato.
Avendo una molteplicit� di spin uguale a 2 in ogni livello discreto a
k fisso ci vanno 2 elettroni.

o elettroni gi� collocati x nuovo elettrone

caso pari
-x--- n=3
-o-o- n=2
-o-o- n=1

caso dispari
-o-x- n=3
-o-o- n=2
-o-o- n=1

Se ci sono elettroni per cella primitiva in numero dispari si dice
che non c'� gap se sono in numero pari c'� gap.
Ovvero aggiungendo un elettrone questo nel caso dispari occupa un
livello di energia che � lo stesso dell'elettrone a energia pi� alta
precedentemente disponibile, nel caso pari invece deve prendere un
livello pi� alto, la cui distanza � detta gap.

Fin qui direi che � tutto abbastanza chiaro ma ditemi se ne ho sparate
di grosse ...

Ora viene la domanda.
Avere bande semipiene � importante per classificare un cristallo come
metallo e allora: in che modo si possono ottenere situazioni in cui
alcune bande sono semipiene?
Un modo che mi viene in mente � quello di cui sopra in cui mi ritrovo
con elettroni per cella in numero dispari e cio� sono sicuro di avere
una intera banda con 1 sono elettrone, cio� mezza pienza (nel
disegnino di prima era la n=3)

Ma mi chiedo ci possono essere bande che condividono un intervallo di
energia anche a valori di k differenti?
Come avviene il riempimento in questo caso?

Ci sono altri modi di avere una o pi� bande parzialmente riempite?

Grazie a tutti ...
Received on Fri Feb 21 2003 - 15:09:02 CET