Adriano Amaricci wrote:
> Salve, Ho una domanda un po' tecnica. Ho capito come agisce l'ordinamento
> normale ( tipo N(\psi-barra\A-slash\psi) nella QED) nell'ambito delle usuali
> teorie di campo, quello che non mi � chiaro per� � la connessione con i
> polinomi di Wick nelle teorie scalari tipo \lambda\phi^4. Cio�: perch�
> l'ordinamento dell'interazione nella teoria costruttiva � fatto prendendo i
> polinomi di Wick?
Ciao,
Considera un operatore di campo (libero) phi. Che cosa e'?
E' una distribuzione a valori operatoriali, cioe' mangia funzioni
reali infinitamente differenziabili a decrescenza rapida e sputa
fuori un operatore simmetrico (essenzialmente autoaggiunto)
ed ha alcune proprieta' di continuita' in una certa topologia
debole... Orbene che cosa sarebbe phi^4(x)? Dovrebbe essere ancora una
distribuzione delle stesso tipo: N.B. non mangia 4 funzioni
e sputa fuori un operatore, mangia sempre una sola funzione.
Formalmente e' il prodotto di 4 distribuzioni phi(x) "nello stesso
punto" (evento) che infine agiscono sulla funzione di prova. Conme
forse saprai gia' per le distribuzioni usuali (a valori numerici), il
prodotto di distribuzioni NON e' definibile in modo da non dare
contraddizioni per un prodotto di due generiche distribuzioni.
Esistono vari approcci per definire
un prodotto di distribuzioni rsetringendo i tipi di distribuzioni
al fine di definire una distribuzione ben fatta.
L'approccio piu' recente, che vale anche per lo spaziotempo curvo
e' basato sull'analisi microlocale di Hormander. In ogni caso
l'idea piu' ovvia e` quella di (1) regolarizzare le distribuzioni,
(2) sottrarre al prodotto di distribuzioni regolarizzato la parte
divergente (3) togliere la regolarizzazione mentre si applica alla
funzione di prova.
(Questo genere di procedure non e' esente da ambiguita' che vengono
fissate imponendo certi requisiti di covarianza della teoria...).
Il prodotto normale e' una di questa procedure che decompone
tutti i prodotti di distribuzioni a prodotti di due distribuzioni
alla volta e regolarizza a quel livello, poi rimette tutto insieme
(questa e' l'essenza del teorema di Wick per prodotti normali).
In pratica per definire phi^2(x) si prende la distribuzione
phi(x)phi(y) che e' ben definita, gli si sottrae la parte
che divergerebbe se x=y, e questa e' la funzione a due punti
dello stato di vuoto di Minkowski <0|phi(x)phi(y)|0>
La differenza risulta essere non piu' una distribuzione, ma una
funzione (a valori operatoriali) allora si puo' definire
(int= integrale)
int :phi^2(x): f(x) :=
int dx int dy (phi(x)phi(y) - <0|phi(x)phi(y)|0>) delta(x-y) f(x)
Puoi controllare che quanto ti ho scritto sopra e' equivalente
alla definizione che conosci tu dei mettere tutti gli operatori
di creazione a sinistra...
Per prodotti di piu' campi la procedura di Wick permette
di ridursi a regolarizzare vari fattori di due campi di sopra.
Questa e' l'essenza.
Ci si puo' chiedere se esistano altte possibili definizioni
di phi^n(x). La risposta e' negativa se si accetta che
tale operatore goda di certe proprieta' di covarianza e localita'
e purche' si lavori nello spaziotempo piatto.
Il problema e' che questo tipo di rinormalizzazione, come saprai
bene non e' sufficiente per calcolare le ampiezze con la serie
perturbativa e ci vuole la vera "rinormalizzazione".
Ma, almeno per la rinormalizzazione ultravioletta
l'essenza e' la stessa. In quel caso il problema e' di
definire cosa si intende per prodotto temporalmente ordinato di
prodotti normali. La definizione che si dice sui manuali
in realta' e' incompleta: il prodotto temporale e' definito
ambiguamente quando gli argomenti dei fattori coincidono e queste
ambiguita' sono proprio i controtermini (finiti) della
rinormalizzazione....
Nei casi fortunati i controtermini hanno la stessa struttura
della lagrangiana completa (con masse e cariche differenti dal valore
arbitrario) per cui tenere conto di tali controtermini
significa solo cambiare i valori a tali costanti. Se accade questo
si dice che la teoria e' rinormalizzabile...
A commento finale vorrei precisare che tutta la procedura funziona
male nello spaziotempo curvo perche' non e' covariante e locale
in modo generale a causa della scelta di riferirsi ad uno stato
di riferimento (il vuoto di Minkowski). E' possibile ricostruire
tutta la procedura in modo che rispetti requisiti di covarianza e
localita', purtroppo pero' la procedura cosi' definita NON si riduce
a quella Minkowskiana nello spaziotempo piatto (anche se erroneamente
Robert Wald e Stefan Hollands dicono il contrario nel loro ultimo
lavoro...)
Ciao, Valter
PS. Ho discusso con Gallavotti su parte della mia attivita' di ricerca
la settimena scorsa...Fai sempre la tesi con lui?
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html
Received on Thu Feb 06 2003 - 14:56:49 CET