(wrong string) � della luce e spostamento verso il rosso

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Thu, 30 Jan 2003 21:13:11 +0100

Fabio Alemagna ha scritto:
> Ma una domanda nasce spontanea, e ti prego di scusarmi se ti fara'
> sorridere per la sua ingenuita', due corpi che si allontanano a causa
> dell'espansione dell'universo - e solo per quello - sono in movimento?
> Se si', come si fa a distinguere questo movimento - e relativa velocita' -
> da uno proprio - e relativa velocita'?
La domanda non e' ingenua, perche' la difficolta' a "pensare" queste
cose e' reale.
La risposta e' in quello che citi sotto:

>> Vedi, ti sembrera' assurdo, ma il baco e' qui: in generale non ha senso
>> dire "quella galassia si sta allontanando da noi alla velocita' v".
>> Questo perche' per dare significato a tale frase hai bisogno di un
>> sistema di riferimento _che si estenda da noi alla galassia_, rispetto
>> al quale misurare la velocita'.
>> E un tale riferimento in uno spazio-tempo curvo e in espansione
>> semplicemente non esiste...

> .....non esiste, o non e' umanamente possibile contemplarlo? Non credo che
> il fatto che sia curvo sia un ostacolo *teorico* al problema (molto
> probabilmente lo e' pratico), ed il fatto che e' in espensione dovrebbe in
> qualche modo essere "contemplabile" nel modello. O no?
Non e' la curvatura delle "sezioni spaziali" il problema, ma
l'espansione.
Se togli a un riferimento la rigidita', ti resta in mano qualcosa che ti
scappa da tutte le parti...

> E... come si propaga la luce in uno spazio-tempo curvo in espensione?
Ottima domanda... Vedi in fondo a questo post.

Riccardo Castellani ha scritto:
> Non e' sufficiente misurare il redshift?Sbaglio o e' questo che fece Hubble
> trovando cosi' che le galassie lontane stavano allontanandosi ad una
> velocita' proporzionale allo loro distanza da noi?
A stretto rigore, quello che Hubble ha trovato e' che il redshift della
luce proveniente da una galassia e' - entro certi limiti - proporzionale
alla distanza della galassia.
Solo se interpreti (discutibilmente) il redshift come dovuto all'effetto
Doppler, puoi concluderne che c'e' una velocita' di allontanamento
proporzionale alla distanza.
Ma questo *non risulta* direttamente dai dati.

> Ma si puo' applicare la trigonometria ordinaria ad uno spazio curvo, senza
> nessuna conseguenza?
No di certo: ci vuole la "sua" trigonometria, che potra' essere sferica
o iperbolica (se e' uno spazio a curvatura costante). Altrimenti la
trigonometria puoi scordartela.

> Francamente questi calcoli mi ricordano quello della velocita' di
> spostamento del punto di incrocio di due aste _sufficientemente_ lunghe che
> vengano raddrizzate l'una rispetto all'altra fino a renderle parallele: dopo
> un po' la velocita' di spostamento del loro punto di incrocio superera' c,
> basta un po' di trigonometria a dimostrarlo. Ma cio' ovviamente e' errato
> perche' basato sull'ipotesi di asta infinitamente rigida.
Non direi che sia questo l'errore, anzi non c'e' nessun errore, solo che
il punto d'intersezione *non e'* un punto materiale, e non c'e' niente
che gli vieti di superare c (come al famoso faro...). Comunque non
c'entra niente col nostro problema.

> Sto facendo confusione enorme evidentemente, ma sta benedetta espansione e'
> dovuta immagino a qualche forza sufficientemente intensa che "allarga" lo
> spazio, per intendersi come avviene nei fondi oceanici per la deriva dei
> continenti.Ma se questo e' vero perche' la velocita' limite non vale per
> questo processo?
L'errore che fai e' che non ti riesce di liberarti dall'idea di uno
spazio euclideo di fondo, che sta sotto a tutto, e rispetto al quale
l'universo si espande.
Non c'e' nessuna forza del genere che dici tu.
C'e poco da fare: lo spazio-tempo e' una bestia diversa, e richiede di
pensare in modo diverso. Non puoi pretendere ch el'intuizione acquisita
sulla scalal uman possa (debba) essere una buona guida su una scala
cosi' enormemente maggiore.

> E infatti non ho capito niente, mi sembra di camminare sulle sabbie mobili.
Ti capisco :)

> Scusa se rinnovo la domanda: qual'e' il redshift misurato in questo caso?Mi
> sembra che la validita' della relazione di Hubble sia limitata in un range
> di distanze proprio per evitare di attribuire velocita' di recessione
> superiore a c (vedi "Introduzione alla Cosmologia" di Lucchin ed.Zanichelli)
Dov'e' che Lucchin dice questo? Spero che non lo dica...
La legge di Hubble vale per _piccoli_ redshift (z<<1).

Vediamo se posso spiegare qualcosa con un modello semplice.
Immaginiamo un universo (non realistico, ma non importa molto) che abbia
la geometria spaziale di una 3-sfera, il cui raggio cresce
proporzionalmente al tempo.
Per le ragioni che avete gia' ampiamente discusso, possiamo limitarci a
considerare una sola dimensione spaziale, ossia una circonferenza che si
espande.
La distanza tra due punti A e B, separati da un angolo a, e' D=R*a, dove
R = kt. Ovviamente la distanza cresce col tempo: D=R*a*t, e la
"velocita' di allontanamento" di B da A vale R*a, costante in questo
modello. Ma questo non interessa.

Vogliamo vedere come si propaga la luce.
Il criterio e' che la sua velocita' e' sempre c: quindi nel tempo dt
percorrera' uno spazio c*dt = R*da = k*t*da.
Abbiamo cosi' un'equazione differenziale: c*dt = k*t*da => c*dt/t = k*da
=> c*ln(t/t0) = k*a, dove t0 e' l'istante iniziale a cui la luce e'
partita (a=0).
Dunque a = (c/k)*ln(t/t0), e questo dice l'angolo a percorso dalla luce
in funzione del tempo.
Se abbiamo due punti (galassie) separati da un angolo A, possiamo
calcolare che relazione c'e' fra il tempo di partenza t0 e quello di
arrivo t1:
t1/t0 = exp(k*A/c). (*)

Notare che il secondo membro e' costante, assegnate le due galassie: se
ora invece di un'emissione istantanea, abbiamo un'emissione che dura
dt0, all'arrivo la durata sara' dt1 = dt0 * exp(k*A/c).
Possiamo interpretare dt0 e dt1 come i periodi della luce all'emissione
e alla ricezione, proporzionali a loro volta alle lunghezze d'onda: lam1
/ lam0 =exp(k*A/c).
Il redshift z e' definito cone z = lam1/lam0 - 1, e qundi
z = exp(k*A/c) - 1.

Se A e' piccolo (galassie vicine) possiamo sviluppare l'esponenziale:
exp(x) = 1 + x, e troviamo z = k*A/c.
La distanza delle galassie al tempo t1 di arrivo e' D1 = R1*A = k*t1*A,
e quindi
z = D1/(c*t1).
Abbiamo trovato la legge di Hubble: al tempo presente (t=t1) il
redishift e' proporzionale alla distanza D1 della galassia emittente. Ma
e' una legge approssimata: la legge esatta e'
z = exp(D1/(c*t1)) - 1.

Notate che in questo modello avevamo R=0 per t=0, ma se mettiamo t0=0
nella (*) troviamo A che va a infinito: quindi ci puo' arrivare luce da
una galassia comunque lontana.

Ora potete divertirvi a studiare casi diversi, per es. con R prop. a
t^(2/3) (che e' piu' realistico: universo di Friedmann. Per prima cosa
troverete che la velocita' di espansione va a infinto per t che va a
zero.
Ma si puo' benissimo trovare la legge di redshift, ecc.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Thu Jan 30 2003 - 21:13:11 CET