> Altro che 3... Sono infiniti!
Vero, ma quel che volevo dire e' che sono tutti multipli di uno
e di un'altro. Oppure non sono multipli affatto di nulla. Pero'
queste tre situazioni di arrivo non sono intercambiambili con
continuita'.
> Infatti puoi fare un qualunque numero di giri, in entrambi i versi,
> lungo la circonferenza piccola; altrettanto lungo la circ. grande. E
> puoi anche comporre i due tipi di cammini...
> Il primo gruppo di omotopia di un toro e' ZxZ.
Penso che sia la stessa cosa. Se si guardano le orbite l'indice dipende
dal numero di giri, se si guardano le traiettorie le due facce di una
superfice
non sono distinguibili.
> > Mentre SO(3) supporterebbe
> > due soli tipi di cammini. D'altra parte nulla mi vieta di pensare SO(3)
parametrizzato
> > dagli angoli di Eulero. Ora non riesco a "vedere" se l'insieme dei
parametri,
> > dopo aver fatto tutte le identificazioni fra quegli insiemi di angoli
che corrispondono
> > alla medesima rotazione, descriva un volume immerso in R^3 o in
dimensione
> > superiore. Mi sembra gia' tanto essermi reso conto che SU(2) e'
semplicemente
> > connesso.
> In effetti gli angoli di Eulero non sono la parametrizziazione piu'
> utile a questo scopo.
Capisco, pero' in linea di principio dovrei ottenere
la stessa struttura topologica. Anche se non sembra cosi'
evidente. Dovrebbe esserci qualche teorema che lo garantisce.
> Procedi invece cosi': ogni elemento di SO(3) e' una rotazione, che ha un
> asse. Puoi prendere questo asse come retta orientata, con la convenzione
> che farai sempre una rotazione di angolo <= pi in senso antiorario (se
> servisse una rotazione di angolo maggiore di pi, la puoi ottenere con un
> angolo minore di pi attorno all'asse orientato in verso opposto).
> Cio' fatto, hai una corrispondenza biunivoca e continua tra gli elementi
> del gruppo e i punti di una palla di raggio pi: ogni punto lo ottieni
> spostandoti dall'origine nel verso dell'asse di rotazione, di una
> lunghezza pari all'angolo di quella rotazione.
> C'e' solo un'eccezione (ed e' tutto il trucco!): i punti diametralmente
> opposti del bordo della palla *corrispondono alla stessa rotazione*,
> quindi vanno identificati.
>
> Allora puoi vedere perche' SO(3) non e' semplicemente connesso:
> costruisci una curva che parte dal centro O, arriva al bordo in un punto
> A, rientra dal punto opposto A' e torna nel centro. Questa e' una curva
> chiusa, ma non la puoi ridurre a un punto, perche' non puoi "staccarti"
> dal bordo.
> Invece una curva che fa due giri: da O ad A, rientrando da A' torna a B
> sul bordo, da B' va in O, puo' essere ridotta a un punto, perche' puoi
> far coincidere con continuita' A' con B e quindi B' con A: cio' ti
> permette di staccarti dal bordo.
Claro.
> Questo dimostra che ci sono due sole classi di omotopia, e il gruppo di
> omotopia ha due soli elementi (ecco perche' le rappr. a due valori).
Cosa sono le rappresentazioni a due valori?
> Incidentalmente, si puo' fare una parametrizzazione assai simile per
> SU(2): viene una palla di raggio 2pi, ma in questo caso tutti i punti
> del bordo vanno identificati. La puoi anche vedere come una sfera S^3 in
> 4 dimensioni, ma e' meno facile visualizzarla...
>
> > Il passo avanti e' questo: come mai degli oggetti nello spazio E^3
> > non abbiamo la percezione che possano essere cambiati da una rotazione
di
> > un angolo giro, mentre questo puo' verificarsi con oggetti quantistici?
> Attento: neppure un oggetto quantistico e' cambiato da tale rotazione:
> il vettore di stato cambia segno (per spin semintero) ma lo stato torna
> lo stesso).
> Devi fare cose piu' complicate, come una sovrapposizione di stati nella
> quale ruoti uno degli stati e l'altro no, per vedere qualcosa.
ahh, ma allora in che senso si dice che si puo' distinguere, cioe'
la fase e' osservabile ma non e' un osservabile? Oppure occorre
un livello di osservazione in cui la fase entra in gioco in modo relativo
andando a costruire degli osservabili? Boh?
> > ... A me personalmente poi rimane
> > ancora un'altra fisima: ma questo fatto che SU(2) e' semplicemente
connesso
> > ha a che fare forse col fatto che in 4 dimensioni non e' possibile
> > distinguere fra terne destre e terne sinistre?
> Non direi. La distinzione terna destra/terna sinistra prova che O(3) non
> e' connesso (per archi): non puoi passare con continuita' da una matrice
> con det. +1 a una con det. -1.
Ok, capisco, ma non capisco. In pratica per distinguere fra destra e
sinistra
occorre distinguere rispetto a qualcosa. Ed e' per quello, perche' noi
distinguiamo
fra destra e sinistra che il gruppo che studiamo e' SO(3). Il gruppo O(3) e'
in qualche modo meno naturale del gruppo SO(3). Cioe' contiene ed implementa
simmetrie che non sperimentiamo quotidianamente. Spero di essermi spiegato.
Ha una utilita' piu' fittizia e meno fisica di SO(3). Torna utile solo a
livello di
materia ordinata, allora e' l'ambiente naturale per studiare le simmetrie.
Ma tutto questo mi sembra ancora molto fenomenologico rispetto alla portata
della teoria dei gruppi.
> Invece SO(3) e' connesso.
> La non-( semplice connessione) e' una proprieta' piu' sottile...
> -------------------
Perche' questi puntini di sospensione? Si tratta forse di un'allusione
al fatto che ha qualche relazione con l'orientabilita' delle superfici?
> Elio Fabri
> Dip. di Fisica "E. Fermi"
> Universita' di Pisa
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Inviato via
http://usenet.libero.it
Received on Tue Jan 07 2003 - 22:22:27 CET