Re: dubbio su SU(2)

From: Gianmarco Bramanti <Gianmarco100_at_inwind.it>
Date: Mon, 06 Jan 2003 00:23:18 GMT

> Questo dimostra, viceversa, che se faccio ruotare uno dei dischi attorno
> all'asse comune, di un numero pari di giri, la torsione prodotta nel
> nastro puo' poi essere disfatta *senza muovere i dischi*.

Penso di aver capito qualcosa.

In verit� questo gioco dimostra proprio che quel cammino chiuso
in SO(3) pu� essere ridotto all'identit� con una trasformazione continua.
Occorre aggiungere qualche
parola per renderlo chiaro. Scegliamo la lunghezza relativa della sezione
del nastro
come parametro, la direzione delle sezioni come primo asse, dell'asse
mediano
del nastro come secondo asse, del loro prodotto vettore come
terzo asse. Una terna identifica univocamente una rotazione, ovvero un
elemento di SO(3).

Il fatto di tenere i dischi iniziale e finale paralleli equivale ad
imporre che il cammino rimanga chiuso. Ad ogni punto del nastro corrisponde
dunque un elemento di SO(3). Potendo slacciare l'intrico mantenendo i dischi
paralleli questo significa che posso fare una trasformazione continua del
cammino
ad un cammino costante e pari all'identit�.


Il fatto di non riuscirci nel caso
del numero dispari di giri non dimostra ancora che sia impossibile.
Per capire che � impossibile occorre qualche considerazione pi�
sofisticata, almeno mi sembra a me.

Facciamo un confronto con la situazione del toro: su un toro mediante
trasformazioni continue, non invertibili, possiamo ridurre tutte le curve
chiuse
a tre elementi o all'unione di tali elementi: circonferenza equatoriale,
circonferenza meridiana, punto. Su di una bottiglia di Klein la situazione
� analoga a quella che abbiamo su un nastro di Moebius. Per tornare al punto
di partenza dobbiamo fare due giri, questo se la superfice � orientata, se
anche la
superfice � trasparente succede qualcosa di particolare, per cui un cammino
chiuso sulla bottiglia di Klein corrispondente ad un giro ed un cammino
chiuso
di indice doppio non sono equivalenti. Con uno spostamento in direzione
ortogonale, diversamente dal caso di Moebius, nel caso di Klein possiamo
risolvere la singolarit�. Occorre fare un disegnino in cui i lati opposti
del
quadrato vengono fatti coincidere dopo una inversione di direzione. Allora
vediamo che un segmento che congiunge due lati opposti non pu� esser
trasformato ad un punto senza "spezzarlo", un doppio segmento invece pu�
diventare un punto.

E posso immaginare tutto questo su un quadrato addirittura. Mi accorgo che
posso traslare il laccio senza produrre incroci ma in modo da ridurre tutto
ad
un punto.

Quel che capita per SU(2) ed SO(3) � in qualche modo la versione in
dimensione
quattro della situazione descritta in dimensione due per tale paese delle
meraviglie.
SU(2)/I risulta isomorfo ad SO(3).

Gli elementi di SU(2) stanno su una sfera S_3 in dimensione quattro.

Per rendersi conto di questo occorre familiarizzare con la parametrizzazione
naturale che sfrutta l'algebra di Lie su(2) tangente al gruppo SU(2) nel
punto unitario. Questa algebra di Lie � conosciuta come algebra di Pauli.
Ed isomorfa all'algebra di hamilton dei quaternioni. L'idea � che la forma
generale degli elementi di un gruppo continuo pu� essere ricostruita dalla
conoscenza dell'algebra di Lie del campo vettoriale tangente al gruppo nel
punto unitario, almeno nel caso in cui questo gruppo � connesso.
 
Quando dico conoscenza dell'algebra non mi riferisco in
tal caso alla semplice conoscenza delle regole di commutazione, ma alla
conoscenza della forma esplicita della base di Lie dello spazio tangente.

Possiamo verificare che lo spazio vettoriale delle matrici
tangenti alle matrici di SU(2) ammette una base che verifica le regole
di commutazione proprie del momento angolare. Consideriamo l'esponenziale di
una
combinazione lineare di queste matrici esp(-i fi/2 (n1 s1+n2 s2 +n3 s3)),
dove il fattore i/2 discende dal fatto che l'algebra di Lie del momento
angolare
� verificata dalle matrici i si/2. In quanto [s1,s2]=2s3
(essendo le s le matrici di Pauli). Questi esponenziali formano
l'elemento generale del gruppo, e ne forniscono una parametrizzazione.
La cui espressione esplicita risulta in una combinazione lineare delle
matrici I, i s1, i s2, i s3. Ed esattamente Cos(fi/2) n1sen(fi/2) n2
sen(fi/2)
n3sen(fi/2). Questi sono i punti di una sfera S3.

Da queste regole di commutazione possiamo riconoscere fra l'altro
che l'elemento del gruppo che abbiamo scritto agisce sugli elementi
dell'algebra di Lie (tridimensionale, nel senso che tre sono le sue
matrici di base) come una rotazione. Questi elementi nel nostro caso
possono essere interpretati come osservabili della meccanica quantistica,
nel senso che sono unitari. Tutti questi argomenti si generalizzano con
l'introduzione della metrica di Killing sull'algebra tangente al gruppo.
Il gruppo di partenza diventa un gruppo di invarianza per questa
metrica. (Ahh, se solo si riuscissero a spiegare queste cose nel modo
semplice in cui possono essere intuite con tanta fatica). Dunque si
riesce ad associare una variet� metrica ad un gruppo continuo.

Fin qua quello che possiamo dire ricorrendo alla sola struttura di
commutazione
dell'algebra. Non abbiamo ancora parlato di rappresentazioni dell'algebra.
Anche se siamo partiti da una rappresentazione per definire l'algebra.
La medesima algebra di Lie � infatti compatibile con rappresentazioni di
dimensione diversa.

Gli elementi di SO(3) si ottengono dagli elementi di SU(2) per
identificazione
di elementi di S_3 che stanno in punti diametralmente opposti della sfera.
La sfera S_3 non � pi� una superfice, � un volume, ma il senso della
locuzione
diametralmente opposto � quello dell'inversione centrale. Ovvero del
cambiamento
di segno di tutti i coefficienti mediante i quali abbiamo espresso il
generico
elemento di SU(2) nella base I, i s1, i s2, i s3.

L'elemento diametralmente
opposto di SU(2) � l'elemento che corrisponde ad una rotazione di un angolo
giro.
Questo oggetto � una specie di bottiglia di Klein.

Il punto � che questi sono solo schemi a partire da termini teorici che si
riferiscono
a entit� non direttamente osservabili, come la matrice di rotazione, che
mediante
generalizzazioni derivate deduttivamente dai postulati iniziali sono
suscettibili
di interpretazioni alternative che vengono a formare un modello scientifico
per
l'elettrone. Si tratta in altre parole di matematica utilizzata per
costruire una
teoria scientifica. A meno di entusiastiche suggestioni, rimarrebbero tali.

Ma io ho una naturale inclinazione alle entusiastiche suggestioni e mi
chiedo
se l'esistenza di straordinari oggetti come gli elettroni non sia il segno
del fatto che viviamo in un paese delle meraviglie. E mi chiedo
espressamente
perch�, se mi guardo intorno, gli oggetti che posso ruotare di un angolo
giro
non si accorgono di essere stati ruotati di un angolo giro rispetto agli
altri,
a meno che non aggiungo vincoli. In altri termini se il vero gruppo delle
rotazioni � SU(2) perch� al mondo comune basta SO(3)?

Penso che per cercare una spiegazione a questo problema occorra comprendere
a fondo il principio di indistinguibilit� ed il modo in cui la materia
risulta aggregata
ed il fatto che nei grandi aggregati fermionici esiste sempre una grande
componente
bosonica. Questo per una prima risposta. Se poi un giorno qualcuno fornisse
una teoria
dello spazio non pi� fondata sugli a priori, spostando il noumeno a qualcosa
di pi� elementare come il numero, allora chiss�... Al momento lo spazio ed
il tempo
sono prerequisiti. Premesse necessarie su cui fondare i ragionamenti.

Accontentandosi di braket e di rappresentazioni del gruppo di Poincar� si
riesce
a capire che l'indistinguibilit� fra particelle di spin semintero implica
l'antisimmetricit� globale della loro funzione d'onda. Quando vengano
aggiunte
le regole di anticommutazione per gli operatori di campo. Sono certo di dire
delle
inesattezze.

Perch� ad esempio si introducono le regole di anticommutazione? Nel
libraccio che
ho sotto mano si dice che con le regole di anticommutazione si
ripristina la positivit� dell'energia. Ma pi� che un procedimento
scientifico, detto
in questo modo mi sembra una furbizia.

Ed a me piacerebbe cogliere l'idea fondamentale
ed il perch�, magari sulla base di giochetti come quelli che ho ripresentato
qui.
E quindi andare avanti. Da qualche parte avevo letto che la regola di
anticommutazione pu� essere riprodotta dalla descrizione del propagagatore
in
termini di cammini di Feynmann solo se l'incrociarsi di due cammini
implica un cambiamento di segno. L'interazione fra due fermioni in termini
di QED d'altra parte � mediata da linee che possono esser pensate come
sovrapposizioni di una particella e di un'antiparticella. Forse � troppo
complicato.


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Received on Mon Jan 06 2003 - 01:23:18 CET

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