Re: Spostamenti rigidi in spazi curvi.

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Mon, 09 Dec 2002 20:54:43 +0100

Valter Moretti ha scritto:
> Ciao, e' una bella questione.
Grazie ;-)
In quello che segue hai esplicitato i problemi che piu' o meno avevo
visto.

> Io credo che per rispondere alla domanda debba
> considerare corpi enormi e non "piccoli" (per i quali puoi approssimativamente
> lavorare nello spazio tengente dove hai delle isometrie).
Vero: se il corpo e' "enorme" il problema si presenta in modo
"macroscopico". Pero' non capisco che vuol dire lavorare
"approssimativamente" nello spazio tangente.
O meglio: capisco benissimo l'idea, ma se un corpo ha dimensioni finite,
comunque non puoi usare "esattamente" lo spazio tangente, e resta lo
stesso problema: che succede?

> Considera un cubo di dimensioni tali che sulla sua estensione sia rilevante
> la curvatura dello spaziotempo. La domanda e' posso muoverne ogni sua parte
> (e' chiaro che devo agire su ogni sua parte per muoverlo per l'impossibilita'
> del vincolo di rigidita' in relativita') in maniera tale che le
> distanze spaziali reciproche dei punti del cubo siano mantenute
> costanti durante ed alla fine del movimento?
Precisamente.

> Intanto io credo che tu debba avere un gruppo ad un parametro di
> isometrie di tipo temporale (spaziotempo statico) per parlare di
> distanza tra le parti del cubo in modo non ambiguo: il cubo deve
> essere stazionario rispetto al vettore di Killing associato a tale
> isometria.
D'accordo: questo l'avevo dato per sottinteso.

> Ammettiamo che esistano ipersuperfici a tempo di Killing costante e che
> le sezioni spaziali del cubo siano ottenute intersecando la sua evoluzione
> spaziotemporale con tali ipersuperfici.
Qui avrei bisogno di un chiarimento. Queste ipersup. esistono sempre?
Meglio: esiste sempre una ipersup. che sia in ogni punto ortogonale al
campo di Killing?
Per una curva so che la risposta e' si': basta prendere la geodetica che
parte con vettore tangente ortogonale al v. di K., e rimane ortogonale
in tutti i suoi punti.

> ...
> Per le rotazioni le cose sono un po' piu' complicate ma l'idea e' la stessa.
> Se c'e' assenza di isometrie uno potrebbe cercare di definire in qualche modo
> la nozione di traslazione a distanza, ma credo che, qualunque nozione
> si definizze, si incorrerebbe in un problema analogo a quello della
> sincronizzabilita' globale in spazitempo non statici. Voglio dire: adottando
> la prescrizione detta per tutti i punti del cubo, alla fine non viene piu'
> fuori un cubo o succederebbe qualche disastro simile.
Beh, questa era proprio la domanda!
Provo a proporti una "definizione" di rotazione per un triangolo.

Il triangolo ABC ha i lati che sono geodetiche di una sezione spaziale
c.s.
Lascio "fermo" il punto A, il che vuol dire che la sua curva oraria e'
curva integrale del campo di K.
Per il punto B opero cosi': detto u il vettore tangente in A al lato AB,
costruisco arbitrariamente una mappa u(t), con t tempo di K., u(t)
sempre nella sezione spaziale al tempo t (con tutti i requisiti di
regolarita' che possano occorrere).
A ogni t, prendo il punto B(t) sulla geodetica tangente a u(t) a
distanza fissa da A(t).
Poi faccio la stessa cosa con C, scegliendo v(t) con la condizione
aggiuntiva che la distanza BC resti costante.
Direi che questo e' possibile; lo sarebbe anche in 2+1 dimensioni.

In questo modo ho definito come "ruota" il triangolo ABC in funzione di
t.
Pero' non credo che in generale si possa asserire che l'angolo tra u(t)
e v(t) (o se preferisci il prodotto scalare) resti anch'esso costante.
Se cosi' non e', il triangolo mantiene costanti i lati ma non gli
angoli!

Ma il mio vero problema e': fin qui questa e' matematica. Ma se io
vivessi (vivo) in uno spazio-tempo cosi' fatto, che cosa succede? Che
non posso muovere un corpo? Che il corpo necessariamente si deforma? Che
per muoverlo occorre lavoro (di deformazione)? Che percio' se il corpo
e' elastico avra' anche una "posizione naturale", quella in cui
l'energia di deformazione e' minima?
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Mon Dec 09 2002 - 20:54:43 CET