concetto di simmetria? proviamoci...

From: anbar <anbar_sobol_at_hotmail.com>
Date: 9 Dec 2002 08:32:49 -0800

In un precedente post, uno studente delle superiori aveva chiesto lumi
sull'argomento in questione. Il prof. Fabri ha giustamente risposto
che la cosa non e` affatto facile... ora pero` ho una mezzoretta
libera e provo a dire qualcosa che spero sia utile.

Simmetria... il termine deriva dal greco e significa grosso modo "che
conserva le dimensioni". Presumo sia stato coniato in riferimento alla
geometria euclidea.
Facciamo un esempio: prendiamo un punto P nello spazio euclideo e
costruiamo una sfera di raggio R centrata in questo punto.
Se ora trasliamo rigidamente la sfera lungo una certa direzione per
una certa lunghezza (andrebbe definito "traslare rigidamente", ma
spero non sia necessario...) otteniamo *un'altra* sfera, non piu`
centrata nel punto P, ma in un altro punto P', che pero` ha lo stesso
raggio della (e` "congruente" alla) sfera di partenza. Lo stesso
accade per un cubo di lato L o per qualsiasi altra figura geometrica:
la figura traslata rigidamente ha le stesse dimensioni della figura di
partenza (il cubo di lato L resta un cubo di lato L, nel senso che i
suoi spigoli sono sempre tutti uguali e sono lunghi L, le facce sono
sempre dei quadrati etc...)
In conclusione, quella che ho chiamato "traslazione rigida" e' una
trasformazione che opera sulle figure geometriche trasformandole in
*differenti* figure geometiche, che pero` sono *congruenti* alle
figure di partenza: ad esempio, la figura trasformata e` un cubo di
lato L se e solo se lo era la figura di partenza.
Le traslazioni (e le rotazioni) rigide sulle figure geometriche sono
simmetrie della geometria euclidea.

Per fare un confronto, consideriamo la seguente trasformazione: dato
un punto P, si sposti ogni altro punto P' lungo la retta PP' per una
lunghezza pari alla lunghezza del segmento PP'. Dovrebbe essere facile
rendersi conto che la nostra sfera di raggio R centrata in P resta si
una sfera dopo la trasformazione, ma il suo raggio e` ora 2R: la
trasformazione appena definita (detta "omotetia") *non* e` una
simmetria della geometria euclidea.

Il concetto di simmetria in fisica e` costruito su questo stampo, dove
al posto di "figure geometriche" si deve porre "apparato sperimentale"
o "sistema di riferimento" ed al posto di "geometria euclidea" si deve
porre "equazioni del moto per la teoria X", ma piu` in generale si
parla di simmetrie quando si hanno delle trasformazioni che, pur
cambiando qualcosa, lasciano invariato qualcos'altro.

Supponiamo X="meccanica newtoniana del punto materiale libero
unidimensionale", per esempio un carrello che scivola con attrito
trascurabile su una rotaia rettilinea con velocita` molto minori di
quella della luce per distanze molto minori del raggio terrestre.

In questo caso, "l'apparato sperimentale" (p.es. un metro a nastro
lungo la rotaia ed un orologio), ci deve consentire di determinare la
posizione S del carrello (la sua distanza, lungo la rotaia, da un
punto fissato) in ogni istante t: in breve la sua "legge oraria" S(t).
Le equazioni del moto di X in questo riferimento sono
(*) [d^2/dt^2]S(t)=0
Soltanto i moti (o leggi orarie) S(t) che soddisfano l'equazione (*)
si realizzano in Natura.
Supponiamo di portare avanti l'orologio di un tempo T=1ora, ovvero la
lettura dell'orologio fonisce ora un tempo t' legato a quello
precedente dalla relazione t'=t-T.
Per un dato moto del carrello che veniva prima descritto dalla legge
oraria S(t), abbiamo nel "nuovo" riferimento una legge oraria
*differente*, data da
S'(t')=S(t-T).
E' facile pero` dimostrare che
[d^2/dt'^2]S'(t')=[d^2/dt^2]S(t-T)
e quindi la "nuova" legge oraria S'(t') e` una soluzione alle
equazioni del moto se e soltanto se lo era anche S(t). In altre
parole, i moti che si realizzano in natura sono caratterizzati nei due
riferimenti da equazioni del moto identiche, ovvero le traslazioni
temporali sono delle simmetrie per la meccanica newtoniana del punto
materiale libero.

Facciamo anche in questo caso un esempio di una trasformazione che
*non* e` una simmetria: supponiamo di deformare il nostro metro a
nastro in modo che le sue indicazioni siano legate a quelle di un
metro non deformato nel seguente modo:
S_def=S^3 (in metri). Se la distanza "vera" e` 2metri, il metro
deformato indichera` 2^3metri=8metri, eccetera.
Le equazioni del moto nel "nuovo" riferimento sono differenti dalle
equazioni nel riferimento di partenza (non sto a scrivere la formula)
e quindi la trasformazione in questione *non* e` un simmetria per la
meccanica newtoniana del punto materiale libero.

Passiamo ora come un sol uomo alla legge di Gauss-"a small step for a
man, a giant leap for mankind"... :)
Come mai si riesce a calcolare cosi` facilmente il campo elettrico
generato da una distribuzione sferica (o cilindrica o piana) di
carica? La risposta semplice e` "per motivi di simmetria", ma cosa
vuole davvero dire questa frase?
Mi rendo conto ora che la mezzoretta e` scaduta da un po' e che il
post sta diventando lungo... per il momento mi limito a dire che nel
calcolo del campo elettrico per le distribuzioni di cui sopra
l'argomento di simmetria agisce su due livelli: le equazioni del moto
e le condizioni iniziali.

Rileggendo il tutto non sono sicuro di essere stato davvero chiaro, ma
se non arriveranno post di protesta per incomprensibilita` magari
proseguo domani.

ciao
a
Received on Mon Dec 09 2002 - 17:32:49 CET