Re: Spostamenti rigidi in spazi curvi.

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Tue, 10 Dec 2002 10:02:03 +0100

Elio Fabri wrote:
> Valter Moretti ha scritto:
>
>>Ciao, e' una bella questione.
>
> Grazie ;-)
> In quello che segue hai esplicitato i problemi che piu' o meno avevo
> visto.
>
>
>>Io credo che per rispondere alla domanda debba
>>considerare corpi enormi e non "piccoli" (per i quali puoi approssimativamente
>>lavorare nello spazio tengente dove hai delle isometrie).
>
> Vero: se il corpo e' "enorme" il problema si presenta in modo
> "macroscopico". Pero' non capisco che vuol dire lavorare
> "approssimativamente" nello spazio tangente.


Ciao, non lo so nemmeno io. Voglio dire: la questione e' questa
secondo me, prima bisogna capire cosa succede in grande e poi
si esegue un limite nel piccolo e mi aspetto che le ''difficolta'''
di qualunque natura siano diventino infinitesime rapidamente
(qualcosa come per le coordinate normali attorno ad un punto in cui
lo sviluppo di Taylor della metrica non ha il termine del prim'ordine)


>>Ammettiamo che esistano ipersuperfici a tempo di Killing costante e che
>>le sezioni spaziali del cubo siano ottenute intersecando la sua evoluzione
>>spaziotemporale con tali ipersuperfici.
>
> Qui avrei bisogno di un chiarimento. Queste ipersup. esistono sempre?

No non esistono sempre, quando esistono si dice che lo spaziotempo
e' (localmente) statico. Se esistono puoi costruire un sistema di
corodinate con il tempo di Killing come coordinata temporale in cui
tutti i coefficienti della metrica NON dipendono dal tempo e i termini
g_{0i} con i=1,2,3 sono nulli. L'esistenxa del solo campo di Killing
temporale non assicura l'esistenza delle ipersuperfici dette.


> Meglio: esiste sempre una ipersup. che sia in ogni punto ortogonale al
> campo di Killing?

No in generale non esistono, e se esistono, non e' detto che siano
ANCHE a tempo di Killing costante. Se non lo sono, la metrica spaziale
indotta su di esse dipende dal tempo e cio' complica ancora di piu' le
cose. Una condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza locale
di tali superfici (a tempo costante o meno) e' data dal teorema di
Frobenius: se T e' il campo vettoriale temporale e nabla e' la
derivata covariante (in realta' passando alle forme non serve la
metrica) deve valere

antisimmetrizzazione su a, b, c di T_a nabla_b T_b = 0


> Beh, questa era proprio la domanda!
> Provo a proporti una "definizione" di rotazione per un triangolo.
>
> Il triangolo ABC ha i lati che sono geodetiche di una sezione spaziale
> c.s.
> Lascio "fermo" il punto A, il che vuol dire che la sua curva oraria e'
> curva integrale del campo di K.
> Per il punto B opero cosi': detto u il vettore tangente in A al lato AB,
> costruisco arbitrariamente una mappa u(t), con t tempo di K., u(t)
> sempre nella sezione spaziale al tempo t (con tutti i requisiti di
> regolarita' che possano occorrere).
> A ogni t, prendo il punto B(t) sulla geodetica tangente a u(t) a
> distanza fissa da A(t).
> Poi faccio la stessa cosa con C, scegliendo v(t) con la condizione
> aggiuntiva che la distanza BC resti costante.
> Direi che questo e' possibile; lo sarebbe anche in 2+1 dimensioni.
>
> In questo modo ho definito come "ruota" il triangolo ABC in funzione di
> t.
> Pero' non credo che in generale si possa asserire che l'angolo tra u(t)
> e v(t) (o se preferisci il prodotto scalare) resti anch'esso costante.
> Se cosi' non e', il triangolo mantiene costanti i lati ma non gli
> angoli!
>

Si era quello che dicevo in generale (per un cubo) esemplifcato nel
caso di un triangolo.

> Ma il mio vero problema e': fin qui questa e' matematica. Ma se io
> vivessi (vivo) in uno spazio-tempo cosi' fatto, che cosa succede? Che
> non posso muovere un corpo?

Non credo proprio, il corpo lo puoi muovere.

> Che il corpo necessariamente si deforma? Che
> per muoverlo occorre lavoro (di deformazione)? Che percio' se il corpo
> e' elastico avra' anche una "posizione naturale", quella in cui
> l'energia di deformazione e' minima?
>

Io eviterei di introdurre fin dall'inizio degli stress interni al
corpo perche'complicano le cose: voglio dire puoi sempre ridurti nel
caso piu' semplice a considerare un corpo pulviscolare con massa e
stress interni piccolissimi in maniera che segua le tue deformazioni
senza opporre o quasi resistenza. Chiaramente, proprio per tale
motivo, devi agire su tutte le parti del corpo contemporaneamente per
"ruotarlo". Quello che accade e'che e' impossibile agire su (ogni
parte del) corpo in modo tale da mantenere costanti tutte le distanze
e i tre angoli angoli: non e' materialmente possibile scegliere le
traiettorie dei vari punti in modo da fare cio' in un certo senso il
problema e' di cinematica o addirittura di geometria e non di
dinamica.Se ci sono degli stress interni che tengono insieme il corpo
allora puoi agire solo su alcune parti del corpo per "ruotarlo" e ti
verra'tutto dietro, ma le varie configurazioni dipenderanno dalle
relazioni costitutive e dalle equazioni del moto. In ogni caso le
configurazioni saranno istante per istante tra quelle geometricamente
ammissibili per cui si ricade nel caso di sopra.
Posso metterla in un altro modo. E' possibile disegnare nel tuo
trispazio una successione di triangoli con vertice A fisso che
descriventi la rotazione rigida del triangolo ABC?
La risposta e' in generale (cioe' scegliendo il triangolo iniziale
arbitrariamente) no, se non hai un gruppo di isometrie
opportuno. Comuqnue tu *definisca* la procedura: mantenere fissi
gli angoli in ogni successivo disegno oppure le distanze oppure
qualche angolo e qualche distanza, non riprodurresti sempre
isometricamente il trinagolo iniziale.
E' chiaro che quanto piu' piccolo e' il trinangolo iniziale
tanto piu' invece tutte le procedure forniscono lo stesso risultato:
basta mettersi in coordinate normali (geodetiche) attorno a A...
Per ora non mi viene inm mente altro.

Ciao, Valter

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> Elio Fabri
> Dip. di Fisica "E. Fermi"
> Universita' di Pisa
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html
Received on Tue Dec 10 2002 - 10:02:03 CET

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