Re: Spostamenti rigidi in spazi curvi.

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: 9 Dec 2002 01:38:44 -0800

Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> wrote in message news:<3DF398B9.9A801FDE_at_mclink.it>...
> Da una questione sollevata in it.scienza mi nasce il seguente problema,
> al quale non so rispondere.
> In uno spazio (3D) isotropo e a curvatura costante il gruppo delle
> isometrie ha 6 parametri: e' il gruppo euclideo, oppure SO(4) oppure
> Lorentz a seconda del segno della curvatura.
> Comunque e' sempre possibile uno spostamento rigido di un corpo da una
> posizione a un'altra, con la stessa liberta' che in uno spazio euclideo.
>
> Ma se invece lo spazio e' generico, isometrie possono non essercene
> affatto, oppure ce ne sara' un gruppo di dimensione minore: qual e' il
> significato fisico di questa situazione? Che non e' possibile spostare
> rigidamente un corpo?
>
> Esempio: geometria di Schwarzschild, dove e' naturale definire "spazio"
> una sezione a t costante. Il gruppo delle isometrie e' SO(3) (rotazioni
> attorno all'origine).
> Quindi per es. non e' possibile ruotare un corpo attorno a un punto
> generico.
> Ma che vuol dire?
> Per un oggetto reale, se cerco di ruotarlo che succede? Si deforma?
> resiste alla rotazione e occorre fare lavoro?
>
> Non ci capisco niente :(

Ciao, e' una bella questione. Io credo che per rispondere alla domanda
debba
considerare corpi enormi e non "piccoli" (per i quali puoi
approssimativamente
lavorare nello spazio tengente dove hai delle isometrie).
Considera un cubo di dimensioni tali che sulla sua estensione sia
rilevante
la curvatura dello spaziotempo. La domanda e' posso muoverne ogni sua
parte
(e' chiaro che devo agire su ogni sua parte per muoverlo per
l'impossibilita'
del vincolo di rigidita' in relativita') in maniera tale che le
distanze spaziali reciproche dei punti del cubo siano mantenute
costanti durante ed
alla fine del movimento?
Intanto io credo che tu debba avere un gruppo ad un parametro di
isometrie di tipo temporale (spaziotempo statico) per parlare di
distanza tra le parti del cubo in modo non ambiguo: il cubo deve
essere stazionario rispetto al vettore di Killing associato a tale
isometria. Altrimenti hai infiniti modi di definirne la distanza e
tale distanza in genernale dipendera' dal tempo.
Ammettiamo che esistano ipersuperfici a tempo di Killing costante e
che
le sezioni spaziali del cubo siano ottenute intersecando la sua
evoluzione
spaziotemporale con tali ipersuperfici. A questo punto la questione
e':
e' possibile muovere il cubo (ogni sua parte) in modo da preservarne
le distanze tra le sue parti.
Immagino un movimento lentissimo per dare senso, istante
per istante, alla nozione di distanza data sopra. Dal punto di vista
geometrico e' necessario che ci sia almeno un altro gruppo ad un
parametro
di isometrie di tipo spaziale ortogonali al vettore di Killing di tipo
tempo.
Se non c'e' un gruppo di isometrie spaziali non ha senso nemmeno
l'idea
di traslare 'della stessa traslazione' tutte le parti del cubo
insieme: prendendo due vertici lontani cosa significa traslare 'della
stessa
traslazione'? (il parallelismo a distanza non esiste in assenza di
isometrie).
Se c'e' un gruppo di traslazioni allora questo deve dare luogo ad
omogeneita'
spaziale nella direzione (o nelle direzioni) di traslazione possibile
e cio'
si riversa sulle proprieta' fisiche dei corpi (e dell'ottica
geometrica per esempio) per cui e' facile definire fisicamente
l'operazione di traslare
'della stessa traslazione' tutti i punti del cubo anche distanti tra
di essi.
Per le rotazioni le cose sono un po' piu' complicate ma l'idea e' la
stessa.
Se c'e' assenza di isometrie uno potrebbe cercare di definire in
qualche modo
la nozione di traslazione a distanza, ma credo che, qualunque nozione
si definizze, si incorrerebbe in un problema analogo a quello della
sincronizzabilita' globale in spazitempo non statici. Voglio dire:
adottando
la prescrizione detta per tutti i punti del cubo, alla fine non viene
piu'
fuori un cubo o succederebbe qualche disastro simile.

Ciao, Valter
Received on Mon Dec 09 2002 - 10:38:44 CET