Valter Moretti wrote:
>
> La spiegazione che dai sopra e sotto funziona solo per sistemi di due
> particelle: con piu' di due particelle ci possono essere simmetrie
> piu'
> complicate, per esempio simmetria sotto lo scambio di due particelle
> ed antisimmetria sotto lo scambio di altre due. Appena ho tempo
> vi scrivo la dimostrazione generale del primo enunciato che ho dato
> (per il secondo guardate per es. il libro di Wightman e Streater
> "PCT, spin statistics and all that")
>
> Ciao, Valter
Eccomi. Allora, consideriamo un sistema di particelle identiche. Tale
sistema sara' descritto da un vettore di stato (potrei generalizzare
considerando stati misti ma non e' il caso), in uno spazio di Hilbert
H che e' dato dal prodotto tensoriale di N copie dello spazio di
singola particella: N e' il numero delle particelle. (Se il numero
non fosse determinato, ma cio' accadrebbe in regime relativistico,
allora ci vorrebbe uno spazio di Fock). Lo spazio di singola
particella e' un L^2(R^3) prodotto tensoriale con uno spazio di
Hilbert finito dimensionale che rappresenta i gradi di liberta`
interni della particella. La corrispondenza tra stati e vettori
(normalizzati a 1) e' data al solito a meno di fasi.
Ogni vettore dello spazio H e' una combinazione lineare anche infinita
(la convergenza e' quella della norma di H),di prodotti tensoriali
di N elementi di K.
Considero ora il gruppo delle permutazioni di N elementi, P(N), cioe'
il gruppo delle funzioni biettive f: {1,...,N} -> {1,...,N}.
Ogni f in P(N) definisce in modo naturale un'azione U_f su H data con
i seguenti passi.
1) Prendo un prodotto tensoriale di N vettori in K :
v_1 tensor .... tensor v_n e definisco
U_f v_1 tensor .... tensor v_n := v_{f(1)} tensor ... tensor v_{f(N)}
2) L'azione su una combinazione lineare di elementi v_1 tensor ....
tensor v_n e' estesa per linearita'.
(ci sarebbero delle precisazioni matematiche da fare...)
In definitiva, per ogni f in P(N), c'e' un operatore U_f : H -> H
che rappresenta f, in modo tale che f |-> U_f sia una rappresentazione
gruppale (manda f composto g in U_f U_g). E' facile verificare che
ogni U_f e' un operatore unitario, conserva cioe' il prodotto scalalre
in H ed e' biettivo.
In questo modo abbiamo costruito una rappresentazione unitaria
matematica del gruppo delle permutazioni su H. Se u e'in H e'
rappresenta uno stato fisico delle N particelle identiche, U_f u
rappresenta lo stato del sistema ottenuto dal precedente scambiando
il ruolo delle N particelle secondo l'applicazione f: {1,...,N} ->
{1,...,N}. L'applicazione e' ben posta in quanto, essendo U_f lineare
ed unitaria manda vettori corrispondenti ad uno stesso stato in
vettori corrispondenti ad uno stesso stato.
In MQ, il fatto che le particelle siano indistinguibili viene
tradotto matematicamente nel requisito che tutti gli operatori (in
realta' le loro misure spettrali) che rappresentano osservabili sul
sistema commutino con tutti gli operatori U_f.
(NB. Questa e' una richiesta sulel osservabili del sisitema e non
sugli stati!)
Vediamo il perche' 'fisico' di tale definizione.
Sia P_X e' un proiettore ortogonale relativo alla misura spettrale
dell'osservabile A, essendo X un intervallo
(oppure un punto se lo spettro e' discreto e piu' in generale un
insieme boreliano) dello spettro di A. P_X corrisponde quindi alla
proposizione:
"il risultato della misura di A sul sistema cade nell'itervallo X"
Nelle nostre ipotesi vale allora P_X U_f = U_f P_X per ogni f in P(N).
Questo implica subito che la probabilita' che la misura di A dia
risultato in X per lo stato u e' la stessa che per lo stato U_f:
**cioe' scambiando le particelle in qualunque modo, non altero la
distribuzione di probabilita' di uscita dei risultati su qualsivoglia
misura di un osservabile**
In altre parole, qualunque misura si esegua sul sistema, non e'
possibile capire se e' stata eseguita o meno una permutazione delle
particelle. In questo senso le particelle sono 'indistinguibili'.
Dimostraimo quanto detto. La probabilita' che la
misura di A dia risultato in X per lo stato u e' per gli assiomi
della MQ
||P_X u||^2 = (P_X u, P_X u)
dove (u,v) indica il prodotto scalalre in H.
Dato che U_f e' unitario:
(P_X u, P_X u)= (U_fP_X u,U_fP_X u)
dato che P_X U_f = U_f P_X vale ancora
||P_X u||^2 = (P_X u, P_X u) = (P_X U_fu,P_X U_f u) =
||P_X (U_f u)||^2
L'ultimo termine e' La probabilita' che la misura di A dia risultato
in X per lo stato U_f u.
Nello spazio H ci sono due sottospazi particolari: quello dei vettori
simmetrici S(H) e quello dei vettori antisimmetrici A(H). La somma
diretta dei due, se N>2 non e' tutto H: ci sono altri sottospazi
ortogonali sia a S(H) che A(H). In altre parole se N>2 non bastano
la parte simmetrica e quella antisimmetrica per decomporre vettori
generici di H.
Si possono costruire i proiettori P(S) e P(A) su S(H) e A(H)
rispettivamente. Non mi dilungo e dico solo che tali proiettori sono
combinazioni lineari di operatori U_f al variare di tutte le f in P(N).
Supponiamo ora che a titolo di esempio u sia in A(H), sia cioe'
uno stato antisimmetrico. Questo e' equivalente a dire che
P(A) u = u
Dato che P(A) e' combinazione lineare di U_f, P(A) commutera'
con tutte le osservabili del sistema essendo il sisitema fatto di
particelle indistinguibili ed applicando la definizione data sopra.
In particolare U_f commutera' con l'Hamiltoniano K (piu' precisamente
con la sua misura spettrale) del sisitema complessivo.
Di conseguenza commutera' con l'evolutore exp{-itK}
Se allora al tempo t=0 lo stato u e' antisimmetrico, cioe' P(A) u = u,
ad un generico tempo t lo stato rimarra' tale
P(A) u(t) = P(A)exp{-itK} u = exp{-itK}P(A) u = exp{-itK}u
Vale la stessa cosa se lo stato iniziale era simmetrico oppure
apparteneva ad uno dei rimanenti sottospazi di H (parastatistica),
perche' anche i proiettori su tali sottospazi sono combinazioni
lineari degli U_f.
Supponiamo che u sia antisimmetrico e consideriamo un altra procedura
che potrebbe alterare tale situazione: il processo di misura su una
osservabile ammissibile B. Per ipotesi B (la sua misura spettrale
commutera' con P(A) per il solito motivo). Se la misura ha dato come
risultato X,
lo stato dopo la misura e' (a meno di normalizzazione) P_X u,
dove u e' lo stato prima della misura. Dato che P(A)P_X = P_X P(A)
e che P(A)u=u per ipotesi,
P(A)P_X u = P_X P(A)u = P_X u
cioe' lo stato dopo la misura e' ancora antisimmetrico
se lo era prima della misura.
Vale la stessa cosa se lo stato iniziale era simmetrico oppure
apparteneva ad uno dei rimanenti sottospazi di H (parastatistica),
perche' anche i proiettori su tali sottospazi sono combinazioni
lineari degli U_f.
Cio' completa la dimostrazione di quanto ho detto in un precedente post.
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html
Received on Mon Dec 02 2002 - 13:56:58 CET