Re: Funzinamento operatore hermitiano

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_univ.trieste.it>
Date: Wed, 16 Oct 2002 00:46:10 +0200

Tomalak wrote:


> Avrei bisogno di sapere come funziona l'operatore hermitiano e gli operatori
> matematici in generale. Se potete, segnalatemi anche alcuni link o qualche
> libro.
OK, provo a condensarti in poche righe l' essenziale. Senza pretesa di rigore

matematico. Quello puoi sempre trovarlo sui libri di analisi funzionale.

Partiamo da un operatore ( generico ). Per definizione e' una funzione
che ad un vettore di un sottoinsieme di uno spazio di Hilbert (immagino
che sai cosa e') associa un altro vettore dello stesso spazio.
Nello sp. di H. c'e' sempre un prodotto scalare cioe' una funzione che a
due vettori x e y di H associa un numero reale (x,y) (con varie proprieta').
Dato un operatore T si puo' definire un secondo operatore T' (detto l'
aggiunto di T) come quell' operatore che trasforma il vettore y in un
vettore T'y in modo che valga l' uguaglianza:

(Tx,y) = (x,T'y)

In generale T' e' un operatore diverso da T (che esista lo garantisce un
teorema).

Una classe interessante di operatori e' quella delgi operatori
hermitiani per cui T=T'.

L' interesse deriva dal fatto che per questi operatori si possono dire
varie cose sugli autovalori e anzi la condizione di hermitianita' induce
varie proprieta' interessanti. P.es. che gli autovalori sono tutti
reali. In prima approssimazione tutto questo puo' essere considerato un'
estensione di quanto avviene nel "fratello povero" di uno spazio di
hilbert: uno spazio vettoriale a dimensione finita.

Qui, gli operatori sono rappresentabili mediante matrici e, quando si
riscrive la condizione di hermitianita' per le matrici, questa
corriponde alla richiesta che l' elemento ij della matrice T sia uguale
al complesso coniugato dell' elemento ij della matrice trasposta.

Naturalmente l' analogia va presa con le molle perche' la natura
infinito-dimensionale dello sp. di H. rende necessaria molta piu'
cautela. Anzi, compaionio dei fenomeni assenti negli spazi
finito-dimensionali. Tuttavia Per un opportuno sottoinsieme di operatori
continuano a valere le proprieta' delle matrici hermitiane.

Da tutto cio' dovrebbe essere chiaro che non c'e' un operatore
hermitiano ma piu' di uno.

Trovi qualche informazione di base sugli operatori e quelli hermitiani
in particolare in ogni buon testo di meccanica quantistica (p.es. il
Messiah). Naturalmente la trattazione e' di norma semplificata e
insoddisfacente per un matematico.
Links possibili: tanti. Basta provare con google.
P.es. vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/node16.html

Ma se hai problemi particolari batti un colpo :-)

Giorgio
Received on Wed Oct 16 2002 - 00:46:10 CEST