Re: oscillatore armonico con frequenza variabile

From: extrabyte <extrabyteNSP_at_libero.it>
Date: Thu, 12 Sep 2002 09:11:59 GMT

"Elio Fabri" <mc8827_at_mclink.it>

[cut]
> Ma come si puo' dire come si comporta il tuo oscillatore se non dici
> niente su quella w(z)?
> Se e' una funzione sinusoidale di z, vengono fuori le funzioni di
> Mathieu (appunto risonanza parametrica).

In realt� la 'pulsazione' oltre a dipendere da z, dipende dal numero d'onde
k (le eq. sono scritte nello spazio di Fourier) e parametricamente da
Omega_D, dove quest'ultimo � il parametro di densit� relativo alla
componente D del fluido (Omea_D=rho_D/rho_c, essendo rho_c la densit�
critica).

Siccome ci sono due componenti, abbiamo due pulsazioni: una per B e l'altra
per D
Cmq l'espressione completa di w(z) �:

w_D(z)=( v_D(z)^2*k^2 - W_D(z,Dmega_D) )/( H^4 (1+z)^5 )

dove:

v_D(z) � (impropriamente) la velocit� del suono nella componente D. � una
velocit� q.m e quindi si calcola attraverso la distribuzione di Fermi-Dirac
ad un universo che si espande alla Friedmann. Facendo i conti:

v_D(z)=c*b*(1+z)*Sqrt[2 F[z]/9*Zeta[3]]

qui �:

c=velocit� della luce;
b=costante =(k*T_0)/(m*c^2); T_0=1.96K (temperatura attuale del fondo
neutrinico); m*c^=0.2 eV (massa del nutrino. N.B in questo modello esiste
una sola famiglia neutrinica).

Per quanto riguarda F(z), l'ho calcolata con Mathematica:

f[y_,z_]:=(y^4)/( (1+a*(1+z)^2 y^2)*(Exp[y]+1) )

F[z_]:=NIntegrate[f[y,z],{y,0, +oo}]

La grandezza W_D(z, Omega_D) �:

W_D(z, Omega_D)=A*Omega_D* (1+z)^3;

con A=7.72*10^-36 s^-1

H=valore attuale delle costante di Hubble=2.7*10^-18 s^-1


La pulsazione w_B[z] della componente barionica �

w_B(z)=( v_B(z)^2*k^2 - W_B(z,Omega_D) )/( H^4 (1+z)^5 )

v_B(z) � la velocit� del suono nei barioni e questa si calcola con
Boltzmann:

v_B(z)=v_0*(1+z), per z<1300

qui v_0=539.3 cm*s^-1;

W_B(z,Omega_D)=A*(1-Omega_D)*(1+z)^3

NOTA: esce fuori questa relazione perch�, pur avendo due parametri di
densit� uno per D e l'altro per B, deve essere (trascurando il contributo
proveniente dai fotoni):

Omega_D+Omega_B+Omega_Lambda=Omega_totale=1

Per adesso pongo Omega_Lambda=0 =>la Omega_B=1-Omega_D, quindi la formula
per la grandezza W_B.

NOTA: nel fare i conti con Mathematica, ho posto Omega_D=0.7 (come suggerito
da boomerang, anche se loro considerano un'omega_lambda)

per quanto riguarda le equazioni degli oscillatori, scrivo le equazioni
complete (accoppiate), sono:

x''(z) + p(z)*x'(z) + w_D(z)*x(z) - n_B(z)*y(z)=0
y''(z) + p(z)*y'(z) + w_B(z)*y(z) - n_D(z)*x(z)=0

dove:

x(z) e y(z) sono le fluttuazioni (relative) di densit� per D e B.

p(z)=0.5 (1+z)^-1 (termine di frizione dovuto all'espansione co-moving)

n_B(z)=(W_B(z,Omega_D)/(H^4 (1+z)^5)
n_D(z)=(W_D(z,Omega_D)/(H^4 (1+z)^5)

IMHO, il problema con l'integrazione con Mathematica � forse dovuto al fatto
che la w_D(z) si esprime attraverso un NIntegrate. Su it.scienza.mathematica
mi hanno suggerito di utilizzare una forma chiusa. Ho fatto
un'interpolazione con Mathematica, ottenendo una funzione che approssima
molto bene la F(z), quindi ho integrato le equazioni.
Provando con k=10^-19 e utilizzando DSolve la fluttuazione di D �
proporzionale a 10^33 Sqrt[1+z]-10^34 Log[1+z], mentre B
prop. a 10^35 Sqrt[1+z]-10^35 Log[1+z].

Questo procedimento funziona fino a k=10^-16, dopodich� math non integra +
nemmeno con NDSolve. IMHO ci deve essere un k_critico. In effetti c'� gi�
qualcuno che ha studiato questo problema per� nel caso di un universo
stazionario:

�On the onset of the Jeans instability in a two-component fluid�

J.P.M. de Carvalho and P.G.Macedo

Questi hanno applicato la teoria di jeans ad un fluido a due componenti in
un universo stazionario. Le equazioni sono le stesse, tranne x il termine di
frizione. Poi hanno fatto un'analisi agli autovalori, dato che il sistema �
a coefficienti costanti, dopo averlo ridotto al primo ordine, e hanno
dimostrato l'esistenza di un k_critico tale che per k>k_critico le soluzioni
sono stabili (onde acustiche in propagazione), mentre per k<k_critico le
fluttuazioni crescono exp.
il valore di k_critico del mix B-D � un valore diverso del k di Jeans che si
ha per un fluido a una sola componente (B); in quest'ultimo caso si ha un
valore della massa di jeans dell'ordine di 10^18 masse solari, valore molto
+grande della massa dell'orizzonte. Quindi le fluttuazioni instabili hanno
una massa > massa dell'orizzonte, ma in questo caso la teoria gravitazionale
che abbiamo usato (newtoniana) non � + valida.
Nel caso del mix B-D invece, dovrebbe uscire un valore di M_J pi� basso,
intorno a 10^12 masse solari che guarda caso � proprio dello stesso ordine
di grandezza della massa media di una galassia. La cosa interessante � che
adesso M_J<massa dell'orizzonte.

Thx:-)

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extrabyte
Received on Thu Sep 12 2002 - 11:11:59 CEST

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