Re: Chiarimenti sul principio di minima azione.

From: cometa_luminosa <alberto.rasa_at_virgilio.it>
Date: Wed, 1 Dec 2010 08:25:23 -0800 (PST)

On Dec 1, 10:47 am, Quantum Leap <demonstr..._at_gmail.com> wrote:
> Nel cercare informazioni sul principio di Hamilton mi sono imbattutto su
> questo sitohttp://www.arrigoamadori.com/lezioni/Miscellanea/PrincipioDiMinimaAzi...
> dove viene riportata una spiegazione del principio di minima azione.
> Quasi sul finire della spiegazione l'autore afferma che il "moto reale"
> fra il punto iniziale ed il punto finale quello per cui l'area,
> formata dal grafico della lagrangiana L, minima. Poi continua "Le
> varie funzioni orarie possibili determinano grafici della lagrangiana
> con relative aree via via diverse. il moto avver solo con l'equazione
> oraria che rende minima quell'area.....il principio di minima azione si
> esprime affermando che l'integrale (l'azione) deve essere minimo."

Per essere piu' precisi, l'azione (l'integrale nel tempo della
lagrangiana) e' *stazionaria*, infatti ci sono dei casi

in cui non e' minima, e' massima.

> Una cosa, tra le tante altre :-), che non ho capito che per quella
> particolare funzione oraria scelta il punto sar soggetto a particolari
> forze e conseguenti velocit che saranno peculiari per ogni legge
> oraria, quindi, dov' che si effettua la scelta?

Quando si effettua lavariazione, si intende, di solito, a fissare
posizione ed istante iniziale e posizione ed istante

finale della traiettoria. Il resto e' arbitrario. Il che significa che
ti scegli una traiettoria *qualunque* e ti

calcoli l'azione (fisate gli estremi come su scritto). Poi ti scegli
un'altra traiettoria che rispetti quelle condizioni

e vedi se l'azione e' diversa o meno.

Il campo di forze e la forma matematica dell'energia cinetica (che ti
permettono di calcolare la lagrangiana) ti

determinano il moto una volta nota la posizione iniziale e la
velocita' iniziale, qui invece la velocita' iniziale non

ce l'hai ed inoltre e' fissa la posizione finale, dunque e' un
problema di tipo differente.

Il calcolo delle variazioni ti permette di concludere che, sotto
opportune altre ipotesi, l'azione e' stazionaria sulla

traiettoria reale e le equazioni di Lagrange che se ne deducono:

d/dt (_at_L/_at_q'_i) = @L/_at_q_i

q_i = i-esima coordinata generalizzata
q'_i = derivata temporale di q_i
L = lagrangiana


ti permettono di trovarla, questa traiettoria reale.


Facciamo un esempio: all'istante t = 0, lancio un proiettile con un
cannone, inclinazione 45�, dal punto di coordinate

(0,0) e voglio colpire il punto di coordinate (100,0) all'istante t 7. Quale sara' la traiettoria del proiettile?

Tenuto conto che l'energia potenziale e' mgy, la lagrangiana, che e' T
- V,

dove T e' l'energia cinetica e V e' l'energia potenziale, si scrive:

L = m/2 (x'^2 + y'^2 - 2gy)

Calcoliamo le derivate di L rispetto alle due coordinate generalizzate
(x e y) e rispetto alle loro velocita':

_at_L/_at_x = 0 ; @L/_at_y = -mg

_at_L/_at_x' = mx' ; @L/_at_y' = my'

Allora le due equazioni di Lagrange sono:

1. d/dt (mx') = 0

2. d/dt (my') = -mg

Dalla prima si ricava che x' e' costante: x' = V0x, ovvero x(t) V0x*t

dalla seconda si ricava l'equazione differenziale:

y'' = - g

che integrata da':

y(t) = V0y*t - 1/2 g*t^2

Le due equazioni che hai trovato:

|x(t) = V0x*t
|
|y(t) = V0y*t - 1/2 g*t^2

sono le note equazioni del moto in un campo gravitazionale uniforme.
Received on Wed Dec 01 2010 - 17:25:23 CET

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