Massimo S. ha scritto:
> ...
> Quindi credevo che i famosi punti A e B seguissero geodetiche sempre
> parallele le quali si avvicinavano.
Proprieta' contraddittorie: se fossero sempre parallele non si
potrebbero avvicinare...
>> Ma credo che per l'esempio che hai fatto ci si potrebbe capire
>> eliminando una dimensione dello spazio, riducendolo a un piano, e
>> mettendo l'asse del tempo nella terza dimensione.
>> Ora cerca di disegnare le geodetiche in questione: che si avvicinano non
>> c'e' dubbio. La difficolta' sta nel vedere che sono geodetiche.
>> Domanda: perche' non e' una geodetica una retta parallela all'asse t?
>
> Direi che se lo spazio fosse piatto le geodetiche sarebbero rette,
> rimarrebbero a distanza costante e quindi una retta parallela all'asse t
> potrebbe essere geodetica.
Beh, ammetto che ho un po' barato, perche' come ho formulato la
questione non poteve vedere la risposta.
Nella realta' (geom. di Scharzschild) lo spazio non e' piatto, ma per
amore di ragionamento possiamo benissimo supporre che lo sia: e'
un'utile approssimazione e insegna parecchie cose.
> Devo pensare curvo solo lo spazio 2d o tutto lo spazio tempo 3d?
Questo e' il punto: anche se le sezioni spaziali sono piatte, lo
spazio-tempo puo' essere (e sara') curvo.
Immagina un punto A dello spazio, e due tempi t1 t2. Vogliamo trovare la
geodetica che passa per (A,t1) e per (A,t2), e dimostrare che non e'
parallela all'asse t.
Che cosa rappresenta fisicamente una tale geodetica? Il moto di un corpo
che parte da A al''istante t1 e ripassa per A all'istante t2, in
presenza (supponiamo) della Terra, il cui centro sta nell'origine delle
coordinate.
E' chiaro che stiamo parlando della seguente esperienza: lanciare da A
un sasso verticalmente, e guardarlo ripassare per A dopo un tempo t2-t1.
Puoi facilmente calcolare che velocita' occorre a questo scopo: v =
g(t2-t1)/2.
Ma se occorre una vel. iniziale, vuol dire che la curva (geodetica) non
parte parallela all'asse t: punta verso l'esterno, poi si piega e torna
verso l'interno: una parabola (almeno per piccoli spostamenti).
Ma se questa e' la geodetica, e non il segmento di retta, cio' mostra
che lo spazio-tempo e' curvo.
(Beh, a rigore non basta, ma non complichiamo troppo il discorso...)
Infatti la metrica nelle nostre ipotesi sarebbe
(1 - 2GM/r) dt^2 - dr^2 - ... (c=1).
Verifica: supponiamo GM/r << 1. Allora la lunghezza della geodetica
(tempo proprio) sara' l'integrale di
[(1 - 2GM/r) dt^2 - dr^2]^(1/2) =~ [1 - GM/r - (1/2)(dr/dt)^2] dt.
Integrando fra i tempi t1 e t2, la costante 1 da' contributo fisso; il
resto non e' altro (a meno di un fattore costante e del segno) che
l'azione di Hamilton-Jacobi per il moto in un campo di potenziale -GM/r.
Percio' il principio della geodetica si riconduce al principio
variazionale di H-J.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Sun Jul 14 2002 - 20:03:17 CEST