"Elio Fabri" <fabri_at_df.unipi.it> ha scritto nel messaggio
news:3D2D405E.3A823E00_at_df.unipi.it...
> microbug ha scritto:
> > c'e' qualcuno del NG che sa dirmi come si calcola la 4-velocita' di un
fotone
> > in uno spazio-tempo di Friedmann-Robertson-Walker?
> Confesso che la domanda non mi e' chiara.
> Per caso vorresti conoscere come si trovano le geodetiche di tipo luce?
Non esattamente. Adesso ti spiego il problema.
Innanzitutto le geodetiche le ho trovate: nella metrica di FRW, esse sono
tali che
p(t)a(t)=const (1)
nella (1) p � il modulo dell'impulso 3D dei fotoni e a(t) � il parametro di
espansione della metrica. Per quanto detto la (1) � vera in un universo di
FRW, quindi omogeneo ed isotropo. Imponendo la conservazione della funzione
di distribuzione dei fotoni (ci� � vero dopo il disaccoppiamento
radiazione-materia) dalla (1) si ottiene la legge di evoluzione della
temperatura del gas di fotoni: T(t)a(t)= const.
Questa legge mi permette di determinare la temperatura al presente della
CMB. Per quello che sto studiando, mi interessa il seguente problema: che
legge segue l'impulso di un fotone proveniente dalla superficie di ultimo
scattering, se detto fotone 'incontra' fluttuazioni di densit�?
In un modello molto rozzo, ho considerato solo materia barionica. Quindi ho
fluttuzioni di densit� di materia barionica. BTW dovrei ritrovare in questo
modo la formula dell' 'effetto Sachs-Wolf integrato'.
Ho fatto questo ragionamento: per t>t_dec materia e radiazione sono
disaccoppiate, quindi per l'equazione di Boltzmann, la derivata *totale*
rispetto al tempo della funzione di distribuzione dei fotoni, � nulla=>
f[p(t),t]= const.
Esplicitando il primo membro (planckiana) si trova che p(t) e T(t)
seguiranno *comunque* la stessa legge, affinch� la f resti costante nel
tempo.
***
Le fluttuzioni di densit� del fluido cosmologico che a loro volta innescano
fluttuazioni della metrica. In approssimazione newtoniana tali fluttuazioni
si possono descrivere attraverso un potenziale (newtoniano appunto)
soluzione dell'eq. di poisson:
(Delta^2)(phi)=4 pi*G*(deltarho) (2)
dove Delta^2 � il laplaciano e deltarho � la fluttuazione di densit�.
Inoltre, si dimostra che nel limite di pressione debole la metrica dello
spazio perturbato si scrive:
ds^2=(1+(2*phi/c^2))*c^2*dt^2-(1-(2*phi/c^2))*a(t)^2 delta_i,j*dx^i*dx^j
(3)
Tale metrica � scritta in coordinate comoving cartesiane.
Calcolando i gamma symbols dalla (3) e facendo molti conti si ottiene
l'equazione geodetica dei fotoni in uno spazio-tempo perturbato:
(1/p)*(dp/dt)= -
[(1/a)(da/dt)-(1/c^2)*(d(phi)/dt)+(2/c^3)*(d(phi)/dx^l)*dx^l] (4)
Qui "d" indica la derivazione parziale, mentre "l" � un indice spaziale. BTW
ponendo phi=0, si trova banalmente la (1). Se integro la (4) ottengo la
legge p(t) e quindi la T(t) in presenza di perturbazione.
Facendo molti passaggi come ad esempio esprimere l'equazione di poisson in
forma integrale anzich� differenziale, esce un integrale contenente
(dx^i/dt), essendo x^i la coordinata del fotone. Siccome nella metrica di
FRW la coordinata temporale altro non � che il tempo proprio, questa
derivata � la componente spazio della 4-velocit� del fotone.
Da qui il subj del mio post. Come si calcola?
Tuttavia, adesso sto seguendo un'altra strada, in quanto con l'integrale si
complica tutto: meglio lavorare sull'equazione di poisson in forma
differenziale per poi passare alle componenti di Fourier sia del potenziale
che delle perturbazioni di densit�.
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microbug
Received on Thu Jul 11 2002 - 15:08:00 CEST