Re: matrici hermitiane

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Mon, 17 Jun 2002 20:37:22 +0200

Fily ha scritto:
> Qualcuno potrebbe spiegarmi in maniera sufficientemente rigorosa cosa sia
> una matrice hermitiana senza traccia (traceless) e in che modo sia connessa
> in QCD ai generatori di campi? (spero di essermi spiegato bene)
Matrice hermitiana: una matrice la cui trasposta coincide con la
complessa coniugata. In altre parole: l'elemento a_{ik} e' il c.c.
dell'elemento a_{ki}. Ne segue che gli elementi diagonali sono reali.
Traceless = a traccia nulla: la somma degli elementi diagonali e' zero.
(Ma possibile che non sai queste cose?)

Passiamo ora a QCD. La teoria e' invariante sotto un gruppo SU(3),
formato dalle matrici 3x3 unitarie a determinante 1.
Ogni matrice unitaria U si puo' mettere nella forma U = exp(iA), con A
hermitiana.
Se det U = 1 allora Tr A = 0.
Ecco da dove spuntano le matrici hermitiane a traccia nulla.
Generatori, ovvero algebra di Lie. Detto in maniera non tanto rigorosa
(ma siamo in un NG di fisica ;-) ) se U differisce infinitamente poco
dell'identita', si puo' sviluppare l'esponenziale, e allora U = I + iA.
In questo senso le matrici A "generano" il gruppo SU(3).

I campi fermionici (quark) si trasformano con le matrici U
(rappresentazione "fondamentale" di SU(3)). I campi di gauge (gluoni) si
trasformano come le matrici A (rappresentazione "aggiunta" di SU(3)).
Quante matrici A indipendenti esistono? Dato che sono hermitiane, gli
elementi diagonali sono reali, e di quelli fuori diagonale basta darne 3
per conoscere anche i simmetrici. Bastano e occorrono quindi 3 reali + 3
complessi = 9 reali. Ma la traccia e' nulla, quindi gli elementi
diagonali non sono indipendenti: ne bastano 2.
Risultato: 8 matrici indipendenti, 8 campi di gauge.

Non so se e' questo che volevi, e se ti basta...
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Mon Jun 17 2002 - 20:37:22 CEST