Kosby wrote:
>
> Salve.
> Nel mio post precedente qualcuno mi ha gentilmente dato la mostrazione della
> formula dell'induttanza :
>
> Z= Sqrt[R^2 + ( Omega*L - 1/(Omega*C) )^2]
>
> il fatto, � che per� mi serviva in una notazione semplice.
>
> Se qualche anima pia ha del tempo da dedicarmi potrebbe cominciare col darmi
> la suddetta mostrazione in forma non complessa.
>
> Grazie
> Kosby
Non lavorare con i numeri complessi ti costringe, in questo caso, a lavorare nel
dominio del tempo anziche' in quello della frequenza. Si tratta allora di risolvere
una equazione differenziale lineare a coefficenti costanti.
Supponi che all'ingresso della rete ci sia un generatore di tensione sinusoidale
di ampiezza A e di pulsazione Omega. Cioe':
V(t) = A*sin(Omega*t)
La corrente che circola nella rete e' ancora una sinusoide di pulsazione
Omega ma sfasata di un angolo Phi e di ampiezza B. Cioe':
I(t) = B*sin(Omega*t+Phi)
(Il fatto che la risposta di una rete lineare ad un segnale sinusoidale sia
sempre un segnale sinusoidale della stessa frequenza dipende essenzialmente
dal fatto che la derivara o l'integrale di un seganle sinusoidale e' ancora
un segnale sinusoidale della stessa frequenza).
La differenza di potenziale ai capi della resistenza e' ovviamente
Vr = R*I = R*B*sin(Omega*t+Phi)
La differenza di potenziale ai capi dell'induttanza (sarebbe piu' corretto
dire induttore..) e'
Vl = L*dI/dt = Omega*L*B*cos(Omega*t+Phi)
Infine la differenza di potenziale ai capi del condensatore e' data da:
Vc = (1/C)*Integrale(I dt) = -B/(Omega*C)*cos(Omega*t+Phi)
Devi ovviamente essere: V(t) = Vr(t)+Vl(t)+Vc(t) (I legge di Kirchoff)
Usando le formule trigonometriche:
sin(Omega*t+Phi) = sin(Omega*t) cos(Phi) + cos(Omega*t) sin(Phi)
cos(Omega*t+Phi) = cos(Omega*t) cos(Phi) - sin(Omega*t) sin(Phi)
si ottiene finalmente l'espressione:
A*sin(Omega*t) = B*sin(Omega*t) * {R*cos(Phi) + [1/(Omega*C) - Omega*L]*sin(Phi)} +
+ B*cos(Omega*t) * {R*sin(Phi) - [1/(Omega*C) - Omega*L]*cos(Phi)}
Affinche' questa equazione sia valida per ogni t deve essere necessariamente:
B*{R*cos(Phi) + [1/(Omega*C) - Omega*L]*sin(Phi)} = A (a)
B*{R*sin(Phi) - [1/(Omega*C) - Omega*L]*cos(Phi)} = 0. (b)
dall'equazione (b) si ricava immediatamente tg(Phi) = [1/(Omega*C) - Omega*L]/R
che fornisce lo sfasamento della corrente rispetto alla tensione in funzione della
frequenza.
D'ora in poi indico la tg(Phi) semplicemente con tg. Sempre dalla trigonometria abbiamo:
sin(Phi) = tg/Sqrt(1+tg^2) e cos(Phi) = 1/Sqrt(1+tg^2)
Sostituendo queste espressioni nell'equazione (a) otteniamo finalmente
A = B*{R/Sqrt(1+tg^2) + [1/(Omega*C) - Omega*L]*tg/Sqrt(1+tg^2)}
ma [1/(Omega*C) - Omega*L] = R*tg per cui
A = B*{R/Sqrt(1+tg^2) + R*tg^2/Sqrt(1+tg^2)} =
= B*R*(1+tg^2)/Sqrt(1+tg^2) = B*R*Sqrt(1+tg^2).
Il rapporo A/B e' per definizione il modulo dell'impedenza della rete per cui:
Z = R*Sqrt(1+tg^2) = Sqrt{R^2 + [Omega*L - 1/(Omega*C)]^2}
--
Diego Passuello
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
Istituto Nazionale di Fisica Nucleare (INFN)
Sezione di Pisa
Via Livornese 1291
56010 San Piero a Grado - Pisa - Italy
http://www.pi.infn.it/
VIRGO Project
Traversa H di via Macerata
56021 S. Stefano a Macerata - Cascina (PISA)
http://www.virgo.infn.it/
Received on Fri Jun 14 2002 - 13:18:27 CEST