Re: Polinomi di Legendre e Laguerre

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_univ.trieste.it>
Date: Tue, 21 May 2002 10:28:02 +0200

Dottor Jekyll wrote:
... Pochi giorni fa riflettevo, tutto da solo, su una questione e cio� mi
> ero posto il problema di come poter trovare le soluzioni di un'equazione
> differenziale lineare a coefficienti *non* costanti, ...

>... ho fatto questo semplice ragionamento (qualitativo - senza rigore
> matematico) Ho assunto che per gli a_i(x) e per la soluzione y(x) sia
> possibile fare lo sviluppo in serie di Taylor ed ho sostituito all'equazione
> differenziale, in questo modo mi sono ricavato delle relazioni tra i
> coefficienti dello sviluppo in serie di Taylor di y(x) e i coefficienti
> dello sviluppo in serie di Taylor degli a_i(x). Dallo sviluppo in serie di
> Taylor di y(x) poi si possono studiare le propriet� di y(x),...

Si', hai riderivato il meccanismo di base della soluzione per serie.
Attenzione pero' che la parte delicata e' quando i coefficienti sono
funzioni con poli o altre singolarita'. Inoltre, tutto resta formale
finche' non si riesce a provare la convergenza (e a definire il raggio
di convergenza della serie).

... Poi credo si possa
> fare anche un discorso pi� generale per equazioni differenziali alle
> derivate parziali (che non conosco ma di cui mi sono fatto una certa idea)
> considerando sviluppi in serie di Taylor multidimensionali.

Si', anche questo si puo' fare. Pero' per le eq. a derivate parziali il
discorso si complica a causa delle condizioni al contorno. Un primo
punto delicato e' legato a quali sono le condizioni rilevanti per una
certa equazione (e quindi diventa necessario fare una classificazione).
Il secondo e' che se manca la consistenza tra simmetrie dell' equazione
e delle condizioni al contorno, la determinazione dei coefficienti della
serie multidimensionale diventa un incubo!

Mi ero
> riproposto di sviluppare tutto il discorso a "punto e virgola" cio�
> precisando bene le ipotesi e con tutto il rigore matematico necessario ...
> ma se tutto ci� � gi� stato fatto da altri, come mi sembra di capire, che
> cavolo ci perdo a fare del tempo. Ogni volta che mi viene in mente una cosa
> poi scopro sempre che ci ha pensato sempre qualcun altro prima, sigh :o(, se
> invece non ci ha pensato nessuno pensate che questo modo di procedere possa
> essere interessante ?


Non ti abbattere. Credo che tutti quelli che hanno studiato matematica o
fisica seriamente hanno "riscoperto" infinite volte l' "acqua calda" o
anche cose piu' complicate. E' un fatto che non ci si muove in territori
"vergini". Tuttavia questo non deve scoraggiarti. E' il modo migliore
per impadronirsi veramente di una materia.
Sentir raccontare delle cose e poi memorizzarle in modo piu' o meno
intelligente non e' sufficiente. Solo quando ti rendi conto che puoi
"fare" da solo, anche per poi scoprire che e' stato gia' fatto, sei
arrivato al giusto livello di autosufficienza su un argomento.

Anche nella ricerca succede lo stesso. Qualche volta trovi una soluzione
elegante ad un problema solo per scoprire che era gia' nota venti anni
prima :-(
Altre volte, leggendo la letteratura, ti accorgi che la stessa soluzione
e' stat prposta indipendentemente da piu' ricercatori che, anche a
distanza di tempo, erano inganri del fatto di lavorarae su problemi gia' risolti.

E poi, anche se molto raramente, puo' capitare di fare veramente
qualcosa che non era mai stata fatta nello stesso modo prima... Ma se
non provi non ci arriverai mai.

Percio' non buttar via tutto ma magari vai avanti per un po' e poi
verifica il tuo livello di comprensione ccon quello che puoi trovare sui
libri. Sara' sempre lavoro ben speso.

Ciao,

Giorgio
Received on Tue May 21 2002 - 10:28:02 CEST