rufo rufo wrote:
> Salve, c'e' qualcuno che potrebbe spiegarmi cosa sono le regole di
> superselezione che operano sugli stati di un sistema quantistico?
> Se possibile gradirei qualche esempio e qualche riferimento bibliografico.
>
> ciao zeb
>
>
Ciao, allora la questione e` la seguente. Come sai gli stati (puri)
di un sistema quantistico S sono descritti da vettori *non nulli*
in uno spazio di Hilbert H. La corrispondenza non e` biunivoca:
ad uno stato corisponde una classe di vettori a|f> doeve |f>
e` non nullo e a e` un qualsiasi numero complesso non nullo
(spesso si scelglie |a|=1 per comodita' e si lavora con vettori
normalizzati a 1.)
Vale quello che si chiama il "principio di sovrapposizione degli
stati": se due vettori |f> e |f'> rappresentano stati di S
a |f> + b |f'> (se e` diverso da zero), con a e b numeri complessi,
e` ancora rappresentante uno stato del sistema S.
In certi casi il principio di sovrapposizione e` falso e cio`
da luogo ad una "regola di superselezione".
Cio` vuol dire che H e` decomposto in una somma diretta di due (o piu')
suoi sottospazi H = H_1 + H_2, e gli stati del sistema S sono descritti
da vettori in H_1 e vettori in H_2, ma non da vettori del tipo
a|f> + b|f'> con |f> in H_1 e |f'> in H_2.
L`esempio tipico e` quello del momento angolare. Se un sistema
fisico ammette momento angolare J, gli autovalori di J^2
possono essere interi o semi interi. per ogni valore di J^2
si ha un sottospazio di H (l'autospazio di J^2 con quell'autovalore)
e H e` somma diretta ortogonale di tutti questi autospazi.
Facciamo finta (per comodita') che H = H_1 + H_2 dove H_1
corrisponde ad un autovalore intero di J^2 e H_2 ad un autovalore
semi intero di J^2. C`e` una regola di superselezione che dice
che non sono ammissibili stati di S
a|f> + b|f'> con |f> in H_1 e |f'> in H_2.
Vediamo perche`. Come saprai il gruppo delle rotazioni O(3)
(piu` oprecisamente il suo rivestimento universale U(2)) agisce
diversamente a seconda dello spin. Non entro nei dettagli matematici,
ma cio` che accade e` che se |f> e` un autostato di J^2 con autovalore
intero, una rotazione di un angolo giro lascia inalterato |f>,
viceversa, se l'autovalore e` semi intero, l'azione della rotazione
di un angolo giro su |f'> agisce come |f'> -> -|f'>. Cio` non altera lo stato
associato al vettore (|f'> e a|f'> individuano lo stesso stato se a e`
non nullo). Dal punto di vista fisico pero` ruotare un sistema di un
angolo giro significa non fare nulla. Supponiamo che ci sia uno stato
rappresentato come |f> + |f'>, con |f> non nullo in H_1 e |f'> non nullo in H_2.
Facendo agire la rotazione di un angolo giro, il vettore diventerebbe
|f> - |f'>
che NON individua piu` lo stesso stato perche` non esiste alcun numero
complesso a tale che a(|f> - |f'>) = |f> + |f'>
(se cio` fosse sarebbe, dato che |f> e |f'> sono ortogonali
(<f| + <f'|) a(|f> - |f'>) = (<f| + <f'|) |f> + |f'> ossia
a(<f|f> + <f'|f'>) = <f|f> + <f'|f'> => a =1 per cui
|f> - |f'> = |f> + |f'> e quindi |f'>=0 che e` assurdo per ipotesi.)
Dal punto di vista fisico puoi distiguere con esperimenti
|f> + |f'> e |f> - |f'> perche` producono probabilita` di transizione
diverse...per cui NON sono lo stesso stato.
Quindi: (regola di superselezione dello spin):
"NON sono ammessi stati rappresentati da combinazioni
lineari di vettori fatte da due vettori di cui uno e` autovettore
di J^2 con valore intero e l'altro semi intero".
Esistono altre regole di superselezione (della carica e della massa)
che si ottengono con altri tipi di ragionamenti...
Per i riferimenti bibliografici, dato che l'argomento e` statndard
(almeno per lo spin) credo che dovresti trovare tutto su un qualsiasi
testo di MQ...
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dipartimento di Matematica
Universita` di Trento
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Fri May 17 2002 - 13:28:05 CEST