Re: Operatore unitario

From: Giovanni Corbelli <gcorbelli_at_inter-NospaM-free.it>
Date: Wed, 8 May 2002 17:54:12 +0100

"Dottor Jekyll" <aquila5_at_tiscali.it> ha scritto
| A pag. 57 del Landau -Lifsits di MQ (e continua a pag. 58) c'� scritto :
| "Ogni operatore unitario pu� essere rappresentato nella forma S = exp(i R)
| dove R � un operatore hermitiano; infatti, da R+ = R segue
| che S+ = exp(-i R+) = exp(-i R) = S^(-1)"

Ricordo intanto che l'esponenziale di un operatore, essendo definito da
una serie di Taylor con tutti i coefficienti reali (c_n=1/n!), gode di
questa proprieta':
exp(A+) = ( exp(A) )+ , ovvero "+" e "exp" commutano poiche'
exp(A) = 1 + A + 1/2*A^2 + 1/6*A^3+... e (A+)^n = (A^n)+

Sempre ricordando lo sviluppo in serie si vede anche che
( exp(aA) )+ = exp(a* A+), dove a e' un numero complesso e a* e' il suo
coniugato.

Inoltre, se A e B commutano, dallo sviluppo in serie si deduce anche che
exp(A) exp(B) = exp(A+B)

Da queste tre proprieta' (che sono semplici ma non ovvie!), discende
quasi come corollario che se R+ = R allora S = exp(i R) e' unitaria in
quanto (S+)S = exp(-i R+) exp(iR) = exp(-iR+iR) = 1
Ovvero l'esponenziale di "i" per un operatore hermitiano e' unitario.

| Per favore mi spiegate in dettaglio come si deducono questi passaggi ?
| Questi passaggi vogliono dire che se un operatore S � unitario allora
| necessariamente S = exp(i R) ? Oppure il viceversa, ossia se un operatore �
| espresso come S = exp(i R) allora necessariamente � unitario ? Oppure tutte
| e due le cose, cio� un operatore S � unitario se e solo se S = exp(i R) ?

Landau in realta' dimostra (dando per scontate le proprieta' degli operatori
su riportate) che se R e' hermitiano allora S = exp(iR) e' unitario, ma non
il viceversa, ne' che ogni operatore unitario e' esprimibile come esponenziale
di "i" per un operatore hermitiano.

| Per� l'eventuale spiegazione dovrebbe far uso solo di nozioni che sono nelle
| prime 57 - 58 pagine del Landau, in quanto queste sono le uniche cose che io
| so di MQ

Piu' che la MQ, qui sono in ballo le proprieta' degli operatori lineari. Il
viceversa si puo' dimostrare cos�: sia S un operatore unitario. Allora esiste
una base ortonormale |a_n> in cui S e' diagonale: S = \Sigma_n s_n |a_n><a_n|.
Poiche' S e' unitario |s_n|=1, e si puo' scrivere s_n = exp(i r_n), dove r_n e'
reale ed e' definito a meno di un multiplo di 2 PI.
Allora l'operatore R = \Sigma_n r_n |a_n><a_n| e' hermitiano e si ha
S = exp(i R).

--
Giovanni Corbelli, Ferrara
Received on Wed May 08 2002 - 18:54:12 CEST

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