Re: Piccola precisazione sui Sistemi

From: Dottor Jekyll <aquila5_at_tiscali.it>
Date: Wed, 8 May 2002 20:39:06 +0200

Mik_dk <mbigiNOSPAM_at_libero.it> wrote

Ti ringrazio per l'interessamento, ma credo che tu abbia detto cose non
corrette :o) Io nel frattempo avevo fatto una ricerca sui miei libri e sono
riuscito a trovare la risposta che ti riporto di seguito.

> semplicemente perch� se si ha uno zero a fase minima
> la fase non aumenta come dici tu ma diminuisce.
> infatti prendiamo uno zero a fase minima:
> (s-1)

Questo zero non � a Re[s] < 0 e quindi non pu� ritenersi appartenere ad una
ipotetica funzione di trasferimento a fase minima.

Definizione : Una F(s) (funzione di trasferimento di un sistema lineare) si
dice a fase minima se i suoi zeri z_i sono tutti a Re[z_i] < 0
Nel caso da te citato lo zero � z = 1 che evidentemente ha parte
reale R[z] = 1 > 0

Tieni presente che nel caso di sistemi a fase minima si riesce a fare la
stabilizzazione del sistema ad anello chiuso mediante sistema di controllo a
retroazione dall'uscita, utilizzando il luogo delle radici, *proprio perch�*
gli zeri di F(s) sono a Re[z_i] < 0. Se F(s) presenta anche zeri a Re[z_i] >
0 non � facile con il luogo delle radici trovare G(s) che stabilizza, ma
bisogna ricorrere ad altri metodi come per esempio la sintesi diretta. Per
esempio se n � il numero dei poli di F(s) e m � il numero di zeri di F(s),
nel caso di n - m = 1 e F(s) a *fase minima* per stabilizzare il sistema ad
anello chiuso basta prendere per il controllore G(s) un semplice guadagno k,
cio� G(s) = k, con k sufficientemente grande. Nel caso n - m = 2 bisogna
vedere dove � situato il centro degli asintoti e poi ci sarebbe il caso n -
m > 2. Comunque in tutti casi si riesce a trovare in maniera semplice il
controllore G(s) che stabilizza proprio perch� F(s) ha *solo* zeri
a Re[z_i] < 0

> andiamo a sostituire jw ad s:
> (jw-1)
> a questo punto se si calcola la fase:
> arctan([Im]/[Re]) =
> arctan(w/-1)=
> arctan(-w)
> che per w-->infinito tende ovvio a -pi/2 rad.
>
> Quindi sistema a fase minima perch� il denominatore
> non incrementa la fase di 90 gradi ma anzi la decrementa
> ulteriormente.
> Il modello di un aereoplano � un esempio di sistema a fase minima.

Questa parte come vedi perde di significato :o) Se il sistema � a fase
minima la fase aumenta di 90 gradi per ogni zero, come dicevo nel primo
messaggio.

Adesso ti dico perch� i sistemi a fase minima si chiamano cos� :
Una generica P(s), anche non a fase minima, si pu� scrivere come
P(s) = N(s)/D(s) = (N_1(s) N_2(s))/D(s) =
(N_1(s) N_2(-s))/D(s) (N_2(s)/N_2(-s)) in cui N_1(s) contiene gli zeri di
P(s) a Re[z_i] < 0 mentre N_2(s) contiene gli zeri di P(s) a Re[z_i] > 0
Perci� P(s) risulta uguale al prodotto della funzione a fase minima F(s) =
(N_1(s) N_2(-s))/D(s) e della funzione H(s) =N_2(s)/N_2(-s) cio� P(s) =
F(s)H(s). La H(s) � caratterizzata dal fatto di avere zeri tutti nel
semipiano (complesso) destro e poli coincidenti con gli zeri ribaltati nel
semipiano sinistro. Se si pone s = (j omega), dove omega � la pulsazione, �
facile provare che |H(j omega)| = 1 per ogni omega, intuitivamente si pu�
fare con i diagrammi di Bode. Quindi la risposta in ampiezza di H(s) �
indipendente dalla frequenza.
Per questo motivo la H(s) si dice *funzione passa-tutto* in
quanto non attenua o amplifica nessuna frequenza. La risposta in ampiezza
della P(s) � determinata allora solo dalla funzione a fase minima F(s). La
H(s) ha influenza solo sulla fase di P(s) e la fa diminuire visto che ha
zeri nel semipiano destro e poli nel semipiano sinistro

La *minima complessit�* per la fase di P(s) si ha quando manca la rete
passa-tutto; per questa ragione alle funzioni con zeri nel semipiano
sinistro si da il nome di funzioni a fase minima.

Ciao, DJ
Received on Wed May 08 2002 - 20:39:06 CEST