Re: Probolema di Relativita' Ristretta

From: Pangloss <elioproietti_at_hotmail.com>
Date: 3 May 2002 20:27:53 GMT

corrado ha scritto:
>............................ Per esempio se vogliamo trovare una
>trasformazione di Lorentz che mi faccia passare il quadrivettore impulso
>dalle componenti (M,0,0,0) alle componenti (M',p1,p2,p3) possiamo
>considerare tale trasformazione come il risultato di tre trasformazioni
>consecutive lungo gli assi x,y,e z come ci suggerisce la teoria dei
>gruppi e in questo caso cosa va scritto nella radice quadrata delle
>singole trasformazioni?Forse v1 , v2 e v3 rispettivamente per ogni
>singola trasformazione? Dove v=(v1,v2,v3) e' il vettore velocita di un
>sistema di riferimento rispetto all'altro.

Vedo su it.scienza.matematica che cerchi di ricostruire (tramite
complicazioni analitiche piuttosto inconcludenti) i risultati che ti
sono stati esposti da E.Fabbri e W.Moretti.
Ti propongo un approccio diverso.

Notazioni usate:
Quadrivettori R=(r,ct)=(x,y,z,ct) P=(p,E/c)=(p1,p2,p3,E/c)
Trivettori: r=(x,y,z) p=(p1,p2,p3) v=(v1,v2,v3)
Prodotto scalare di trivettori: r*v = x v1 + y v2 + z v3
Fattore di Lorentz: gamma = 1/sqrt(1 - v^2/c^2)

Confesso che nemmeno conoscevo il termine "matrice di boost", ma in
definitiva tu stai semplicemente cercando di scrivere una generica
trasfomazione di Lorentz, per un sistema di riferimento S' dotato di una
velocita' qualsiasi (v1,v2,v3) rispetto ad un altro riferimento S.
Infatti la conoscenza delle componenti del quadrivettore impulso individua
univocamente la velocita' della particella: v = pc^2/E

Le trasformazioni di Lorentz si possono scrivere in forma vettoriale:

 r' = L r - gamma t

 ct' = gamma (ct - v*r/c)

ove L e' un operatore lineare agente sugli ordinari trivettori completamente
caratterizzato da:
- autovalore gamma per i trivettori paralleli a v^;
- autovalore 1 per i trivettori ortogonali a v^.

Ogni trivettore r puo' essere evidentemente decomposto nella somma di un
vettore parallelo e di uno perpendicolare a v:

 r = (r*v/v^2)v + [ r - (r*v/v^2)v ]

Da qui si ottengono subito le trasformazioni di Lorentz in forma generale:

 r' = r + [gamma - 1] (r*v/v^2) v - gamma t

 ct' = gamma (ct - v*r/c)
 
Ovviamente esse valgono per ogni quadrivettore: (r,ct), (p,E/c) ecc.
Personalmente preferisco dimostrare le formule suddette direttamente con
ragionamenti di simmetria e con il postulato di costanza della c. Poi basta
porre v=(v,0,0) per ottenere subito le solite formule per la configurazione
standard, cioe' con S ed S' in moto relativo nella direzione x=x'.
Ma e' piu' tradizionale procedere alla rovescia, cioe' arrivare ad esse
trascrivendo trascrivendo in forma vettoriale le usuali formule di Lorentz,
ponendo x = (r*v)/v ecc.

L'uso del formalismo vettoriale e' vantaggioso poiche' non dipende da una
scelta prefissata degli assi spaziali. Ponendo v=(v1,v2,v3) anziche'
v=(v,0,0) si ottengono subito le formule generali anziche' quelle standard.
Non c'e' alcun bisogno di ricorrere a faticose tecniche gruppali.
Con calcoli brevi ed elementari puoi ottenere la matrice 4x4 dei
coefficienti della tua trasformazione di boost, tale e quale a come ti e'
stata scritta da E.Fabbri e W.Moretti.

Ciao e buon lavoro!

-- 
 Elio Proietti        
Debian GNU/Linux
Received on Fri May 03 2002 - 22:27:53 CEST

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