Re: Sui fononi

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_univ.trieste.it>
Date: Thu, 25 Apr 2002 23:53:22 +0200

Dottor Jekyll wrote:
...
> il ragionamento corretto a questo punto credo che sia : Se si ripete il mio
...
> anche il viceversa. E fino a qui � un discorso nell'ambito della
> Meccanica *Classica* e credo che adesso sia corretto :o)

OK. (Ci sarebbe qualcosa da dire sulle interazioni ma e' un altro discorso)

...
 
> Adesso viene il punto delicato ... ossia l'introduzione dei *fononi* come
> oggetti quantistici quali sono,
...
> Sulla
> mia dispensa di fisica dei solidi c'� questa frase che mi manda in
> crisi : "Le oscillazioni normali sono caratterizzate, relativamente allo
> spettro energetico, dalle frequenze omega_n che formano un ensemble di
> elementi distinguibili per il quale la distribuzione di Gibbs, trascurando
> le interazioni tra modi normali, da luogo alla distribuzione di Boltzmann"
> Il fatto che non comprendo � che mi pare si parli di distribuzione di Gibbs
> applicata alle oscillazioni normali, che non sono particelle, mentre sulla
> stessa dispensa in precedenza era stata ricavata questa distribuzione per
> particelle debolmente interagenti.

Qui ci sono un po' di cose sostanzialmente scorrelate tra loro.
Continuiamo a lasciar stare da parte i fononi per il momento.
Consideriamo
solo i modi normali quantizzati con il loro spettro di energie.
Queste sono le energie possibili per il sistema trattato quantisticamente.
Naturalmente il sistema puo' essere in uno stato sovrapposizione di
autostati
dell' hamiltoniana o in una miscela statistica di autostati. In tal caso
ci sara' una
distribuzione statistica dell' energia tra i possibili autovalori.

Tuttavia, che il sistema distribuisca l' energia secondo una
distribuzione di
equilibrio o no, non e' scritto da nessuna parte nell' hamiltoniana
armonica. Si deve ipotizzare ( ma e' un' ipotesi a parte) che esista un
meccanismo efficace di equilibrazione termica. Questo potrebbe
provenire da termini anarmonici ma potrebbe anche derivare da altre
deboli
interazioni con un ambiente termalizzante. Comunque sia, in questo
discorso non c'"e' nessun obbligo di avere a che fare con particelle.
Anche
se chi ha scritto la dispensa puo' aver introdotto la distribuzione di
G.
parlando di gas, la stessa vale per qualsiasi sitema in cui l' energia
puo'
distribuirsi tra diversi gradi di liberta'. Inclusi i modi normali
(classici o quantistici, con risultati diversi).



...
>... La <E> si pu� interpretare come l'energia media di
> una certa distribuzione di particelle tale che <m> � il numero medio di
> particelle che hanno energia h omega_n. Inoltre la distribuzione statistica
> di queste particelle � data da <m>. Queste particelle si chiamano *fononi*
> (evviva). Lo spettro energetico dei fononi sarebbe dato da h omega_n al
> variare di n cio� n = 1, 2, 3, ..., 3N che � diverso dallo spettro
> energetico delle oscillazioni normali che invece � E = E_m(omega_n) = (m +
> 1/2) h omega_n. Cio� lo spettro delle oscillazioni normali � equispaziato
> mentre quello dei fononi no. Se poi si volessero contare questi fononi si
> potrebbe fare somma(n = 1, 3N)(<m>). Cio� in sostanza si sarebbero
> introdotte queste quasi particelle con considerazioni statistiche, ossia
> interpretando in modo opportuno le espressioni di <E> ed <m> come dicevo
> prima.

Mi sembra di capire che cerchi di arrivare ai fononi dalla
distribuzione di equilibrio ( o cerca di farlo chi ha scritto le tue
dispense).
Non e' un modo diretto. La distribuzione la
hai anche senza mai abbandonare il concetto di modo normale quantizzato.
In realta' l' identificazione non e' basata sul fatto che la
distribuzione di Gibbs valga
solo per particelle (falso).

Ripartiamo dai modi normali quantizzati. Ne abbiamo 3N. Ognuno
caratterizzato da una frequenza omega_p (p=1,...,3N).
Quali sono i livelli energetici possibili per ogni modo normale ?
Evidentemente E_n = hbar omega_p ( 1/2 + n).
Quale e' l' energia di uno stato in cui il primo modo normale e' nello
stato caratterizzato dal n. quantico n_1, il seconda da n_2 ... il
3N-esimo
da n_3N ?

E{n_1,n_2,...,n_3N} = 3N/2 hbar Somma_su_p_da_1_a_3N omega_p +
                      hbar Somma_su_p_da_1_a_3N omega_p n_p

A parte il primo termine, che pero' e' una costante, l' energia puo'
essere
reinterpretata come la somma di 3N termini il p-esimo dei quali
corrisponde a
n_p termini uguali a hbar omega_p. Una strutture del genere e' quella di
un sistema di
somma_su_p n_p gradi di liberta' non interagenti. La somiglianza non
termina qui.
Ci si rende conto che tutte le proprieta' fisiche del sistema di modi
normali quantizzati
possono essere reinterpretate coerentemente come quelle di un sistema
di "particelle"
quantistiche non interagenti di tipo bosonico. E queste particelle sono
i fononi.

Nelle ultime due frasi sono andato evidentemente di corsa. Tuttavia
spero che sia sufficiente come punto di partenza per ulteriori
approfondimenti. Ricordo che c'era una trattazione introduttiva molto
chiara nel libro di Ziman "Introduction to advanced quantum theory".

Ciao

Giorgio
Received on Thu Apr 25 2002 - 23:53:22 CEST