Ciao, ti riferisci a condizioni necessarie o sufficienti?
Immagino che per potenziale V intenda l'energia potenziale cambiata di
segno e considero punti in cui il gradiente di V e` nullo.
stefjnoskynov wrote:
> a pochi giorni dall'esame mi potete dire senza una spiegazione troppo
> complessa come deve essere la matrice hessiana del potenziale affinch� si
> abbia
> 1) punto di eq. stabile
Massimo stretto (ossia in un intorno di x_0 il potenziale V(x) e`
STRETTAMENTE minore di V(x_0)).
La condizione e` sufficiente ma non necessaria.
Cotroesempio
V(x) = -sin (1/x) exp{1/x^2} se x e` diverso da 0, V(0)=0
c`e` equilibrio stabile per x=0 ma V non ha un massimo
stretto in tale punto.
> 2) punto di eq. indifferente
Se l'esame che devi fare e` meccanica razionale, quello che i
fisici chiamo equilibrio "indifferente" ricade sotto equilibrio
instabile e basta. Comunque una condizione necessaria e sufficiente
per l'equilibrio "indifferente" e` che V sia costante in un intorno
del punto in questione quindi la matrice hessiana deve essere nulla
(ma tale condizione e` solo necessaria).
> 3) punto di eq.instabile
Una condizione sufficiente e` che il potenziale abbia
qualche autovalore strettamente positivo.
Tale condizione non e` necessaria (prendi V= x^4 in 0 si ha
equilibrio instabile ma la derivata seconda di V in 0 e` nulla.)
Se non c`e` un massimo stretto e neppure la matrice Hessiana
ha qualche autovalore strettamente positivo la situazione
non e` risolvibile usando la sola matrice essiana.
(Ci vogliono altri teoremi tipo Liapunov, Barbasin, Krasov )
> Vi ringrazio x la gentile attenzione
>
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dipartimento di Matematica
Universita` di Trento
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Sat Apr 27 2002 - 09:14:38 CEST