Re: QED

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Sun, 07 Apr 2002 20:15:37 +0200

emoperry ha scritto:
> Feynman nel suo testo divulgativo sulla QED
> si sofferma su un "principio fondamentale" introdotto dalla meccanica
> quantistica: si e' in grado solo di calcolare la probabilita' che un dato
> evento si verifichi.
> L'autore prende come esempio il fenomeno della riflessione parziale della
> luce monocromatica e introduce come strumento matematico(?) per il calcolo
> di questa probabilita' il concetto di "ampiezza di probabilita'"
> rappresentato da un vettore e dalla probabilita' come quadrato della sua
> lunghezza.
> Fin qui tutto ok! Cio' che non mi e' chiaro e' come associa il vettore all'evento!
> Esempio:
> ...
> Ecco, siccome e' un argomento molto suggestivo mi piacerebbe approfondirlo e
> magari capire i concetti che sono alla base dell'esempio esposto per poter,
> magari, affrontare il resto delle pagine con un occhio piu' critico e magari
> provare a fare qualche calcolo per conto mio!!! e poiche' sicuramente eventi
> che possono avere modi alternativi hanno ampiezze di probabilita' che vanno
> sommate capire come costruire questi vettori sia necessario!!!
Il meglio che so fare e' proporti la mia versione delle regole di
Feynman, come l'ho scritta qualche tempo fa. Sperando che possa esserti
utile.

Il calcolo delle ampiezze
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     Abbiamo dunque a che fare con un ''calcolo delle ampiezze,'' che va
condotto secondo regole precise: occorre cioe' dare un insieme di
postulati per questo calcolo. Li elenchiamo qui di seguito in forma
semplificata.

a) Ogni particella parte dalla sorgente con un'_ampiezza_, che e' un
vettore di modulo 1 e direzione che possiamo assumere convenzionalmente
orizzontale.
b) Quando la particella si propaga la sua ampiezza ruota (conv. in senso
antiorario) di un angolo proporzionale al percorso fatto. Il tratto in
cui l'ampiezza ruota di 2pi e' la _lunghezza d'onda_ lambda=h/p.
c) _Principio di sovrapposizione_. Quando la particella ha diverse
strade per andare dalla sorgente al rivelatore, l'ampiezza finale e' la
_somma vettoriale_ delle ampiezze per le diverse strade.
d) La probabilita' che una particella arrivi al rivelatore e' data dal
_quadrato del modulo dell'ampiezza_.

     Le semplificazioni cui abbiamo accennato sono diverse: limitiamoci
alla piu' importante. Se poniamo un rivelatore (fotomoltiplicatore)
sempre piu' lontano dalla sorgente (lampada) il numero di fotoni
ricevuti diminuisce: dobbiamo quindi assumere che l'ampiezza si riduca
man mano che aumenta la distanza. Nelle regole scritte sopra noi abbiamo
trascurato questo fatto, perche' nei casi che c'interessano la
variazione non ha influenza significativa.

     Si puo' verificare che queste poche regole permettono di spiegare
tutte le "stranezze'' delle particelle microscopiche, e in generale
inquadrano tutti i fenomeni conosciuti, e non solo quelli di cui abbiamo
gia' parlato. Si tratta dunque di una nuova _meccanica delle
particelle_, che prende il nome di _meccanica ondulatoria_ quando si
vuol mettere l'accento sulla stretta relazione che ha con le proprieta'
delle onde; oppure di _meccanica quantistica_, quando si vuol rimarcare
che da queste regole (lo vedremo) seguono tutti i fenomeni di
quantizzazione che abbiamo visto nella prima parte.

     Volendo applicare il calcolo delle ampiezze agli esperimenti con i
fotoni riesce utile aggiungere alcune regole supplementari, valide solo
per i fotoni:

e) Per i fotoni la rotazione dell'ampiezza e' anche proporzionale al
tempo; il tempo in cui l'ampiezza ruota di 2pi e' il _periodo_, e il suo
inverso e' la _frequenza_ f del fotone. Poiche' per un fotone nel vuoto
E=cp, ne segue E=hf.
f) Quando un fotone si riflette alla superficie di separazione fra due
mezzi trasparenti, il modulo della sua ampiezza si riduce di un fattore
caratteristico dei due mezzi, che vale circa 0.2 nel caso aria-vetro.
Inoltre
l'ampiezza cambia verso se il fotone viene da un mezzo meno rifrangente.
g) Quando invece il fotone attraversa la superficie, la sua ampiezza si
riduce di un fattore che vale circa 0.98 nel caso aria-vetro.

     I due numeri 0.2 e 0.98 sono validi solo per il passaggio
aria-vetro; ma che relazione c'e' tra loro? In realta' non possono
essere indipendenti: non potremmo mai avere ad es. 0.3 e 0.9, o comunque
due numeri scelti a caso. Perche'?

     Il punto e' che quando un fotone incontra la superficie, ha due
sole possibilita': o si riflette, o passa al di la'. Dunque le due
probabilita', dei due eventi che esauriscono tutte le possibilita' e si
escludono a
vicenda, _debbono avere somma_ 1. Infatti 0.2^2+0.98^2=1.

     Una precisazione: i numeri dati nelle regole f) e g) oltre a
dipendere dai due mezzi dipendono in realta' anche dall'angolo
d'incidenza: quelli che abbiamo dati valgono per incidenza normale. La
riflessione aumenta e la trasmissione diminuisce quando l'incidenza e'
obliqua. Pero' la variazione non e' grande, almeno finche' l'angolo
d'incidenza non supera 45^, e percio' conviene non tenerne conto.

P.S. Avrai notato che ho scritto "rivelatore", non "rilevatore".
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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Received on Sun Apr 07 2002 - 20:15:37 CEST