Elio Fabri ha scritto:
[cut]
| L'esempio che fai purtroppo e' assai complicato, perche' metti in ballo
| altre stelle, quindi uno spazio-tempo incurvato in modo complesso e
| probabilmente non statico; quindi non saprei come fare il conto.
| Ma posso proporre una versione piu' semplice e accessibile: dalla Terra
| parte una capsula che gira intorno al Sole e ritrova la Terra sulla sua
| orbita dopo un po'.
| Come va l'invecchiamento dei gemelli in questo caso?
| Resta, in comune col tuo esempio, l'assenza di forze non gravitazionali.
| In altre parole, entrambi i gemelli si muovono su geodetiche dello
| spazio-tempo, e bisogna solo vedere quale ha lunghezza maggiore.
Azzardo una risposta, attendendo il verdetto di Elio...
Ho provato a mandare questo post in precedenza ma non so perche' non e'
comparso. Ho violato la netiquette?
Tornando al problema...
Prendo in considerazione un corpo che compie un'orbita chiusa in un campo
gravitazionale la cui sola sorgente e' il sole, di massa M.
In prima approssimazione, il tempo proprio T di un corpo in un campo
gravitazionale con potenziale P varia secondo:
dT~(1+P/c^2-1/2*(v/c)^2)*dt
dove t e' il tempo misurato in un sistema sufficientemente "lontano" (P~0) e
"fermo" (v~0).
Considero per semplicita' un corpo di massa m=1 e riscrivo la formula cosi':
dT~[1+(P-K)/c^2]*dt
dove K e' l'energia cinetica.
Per un corpo che compie un'orbita completa attorno al sole si ha (teorema del
viriale):
<K>=-<P>/2 e quindi, poiche' K+P=E (E e' l'energia meccanica) ne segue
<K>=-E, <P>=2E.
Sostituendo e integrando su un'orbita, si ottiene
DT~(1+3E/c^2)*Dt=(1-3/2*GM/a/c^2)*Dt
dove a e' il semiasse maggiore dell'orbita.
Consideriamo due satelliti 1 e 2 che si incontrano inizialmente ad una distanza
R dal sole possedendo velocita' v1 e v2 perpendicolari alla congiungente
sole-satelliti.
I satelliti orbitano e poi si ritrovano (cio' avviene se il rapporto dei periodi
di rivoluzione e' razionale e v1^2 e v2^2 sono minori di 2GM/R).
Se v1 < v2, allora a1 < a2 e quindi DT1 < DT2, ovvero chi parte pi� lentamente,
oltre a risentire maggiormente (nonostante la minore velocita' iniziale) del
"rallentamento del tempo" dovuto alla velocita', esplora regioni a basso
potenziale gravitazionale, il che contribuisce ulteriormente al "rallentamento
del tempo".
Le due situazioni non sono comunque simmetriche, in quanto i due corpi, nel loro
peregrinare, sono soggetti a differenti effetti mareali, maggiori in chi si
avvicina di piu' al sole.
Naturalmente tutto questo ragionamento e' valido se non ho commesso errori
fondamentali che il buon Elio provvedera' a scovare e bacchettare dopo il
trasloco...
--
Aleph Zero
Received on Fri Mar 15 2002 - 20:23:39 CET