MdM wrote:
> Dunque, qual � la legge che lega il tempo di durata in volo e la velocit� al
> momento del tiro di un pallone lanciato in aria con traiettoria
> perfettamente verticale tenendo conto anche dell'attrito del mezzo?
Soluzione ruspante, credo si possa fare di meglio.
Per numeri di reynolds compresi fra 1000 e 100000, la resistenza
aerodinamica di una sfera e` circa pari a 1/2 rhoa V^2 S Cr dove rhoa e`
la densita` dell'aria, V la velocita`, S la sezione della sfera (R^2 *
pi) e Cr il coefficiente di resistenza, che per sfere lisce vale circa
0.45.
L'equazione differenziale che descrive il movimento (in salita) e`
dV/dt= - g - rhoa V^2 Cr pi D^2 / (8 mp) = - g - a V^2 (1)
dove V e` la velocita`, t e` il tempo, g l'accelerazione di gravita`,
roha la densita` dell'aria, Cr il coefficiente di resistenza della sfera
(circa 0.45, adimensionato), D il diametro del pallone, mp la massa del
pallone. Suppongo che la coordinata verticale sia positiva verso l'alto,
e quindi V positive dirette verso l'alto. Per un pallone da calcio, con
aria "media", a vale circa 0.025 m^-1
L'equazione differenziale e` a variabili separabili, e devi integrare
per V che va da V0, velocita` iniziale, fino a 0 (quando e` al massimo
dell'altezza), e questo ti da` il tempo di salita.
Se vuoi sapere anche l'altezza a cui arriva (serve dopo) puoi riscrivere
l'equazione di sopra, indicando l'accelerazione in funzione dello spazio
al posto che del tempo. Cioe` al posto di scrivere dV/dt = .... scrivi
V dV/dy = - g - rhoa V^2 Cr pi D^2 / (8 mp) = - g - a V^2 (2)
Anche questa e` a variabili separabili e ti da` l'altezza massima
ragiunta dal pallone se integri come prima fra V0 e 0. y e` la
coordinata verticale.
Nella discesa l'espressione cambia un segno, perche' la forza di
gravita` e` sempre diretta verso il basso, ma la resistenza dell'aria e`
verso l'alto(opposta al moto).
L'equazione da risolvere e`
dV/dt= - g + rhoa V^2 Cr pi D^2 / (8 mp) = - g + a V^2 (3)
ancora come la precedente, ma questa volta l'integrale della velocita`
deve essere calcolato fra 0 (inizio della caduta), e la velocita` che ha
il pallone quando tocca terra (e ha valore negativo). Il termine
incognito e` il tempo di caduta, che si ricava dall'integrale di dt.
Per trovare la velocita` finale di caduta, si deve risolvere di nuovo
V dV/dy = - g + rhoa V^2 Cr pi D^2 / (8 mp) = - g + a V^2 (4)
questa volta conoscendo lo spazio e calcolando la velocita` per y=0.
Sapendo la velocita` finale la si usa come estremo di integrazione in
(3) e si ha il tempo di discesa. Sommi i risultati di (1) e (3) e hai il
tempo di volo totale.
Problemi di questo genere li trovi sui libri di Banks, il primo dei
quali si chiama "towing icebergs, falling dominoes", princeton
university press.
Resta solo una questione: chissa` quanti errori ho fatto?
PS: ho fatto una prova numerica: un pallone da calcio, con velocita`
iniziale di 20 m/s ha un tempo di salita e` di circa 1.6 s, e l'altezza
massima arriva a 14 m circa, da confrontare con una altezza massima di
circa 20.4 m in assenza di aria e un tempo di salita di circa 2 s.
La discesa da 14 m termina con una velocita` di impatto al suolo di
circa 14 m/s e impiega 1.8 s a tornare giu`. Il tempo totale e` quindi
3.4 s. In assenza di aria la caduta da 14 m avrebbe richiesto 1.7 s e la
velocita` finale sarebbe stata di circa 16.6 m/s.
--
Franco
Wovon man nicht sprechen kann, dar�ber mu� man schweigen.
(L. Wittgenstein)
Received on Thu Mar 14 2002 - 01:05:04 CET