Ciao Luca,
Luca wrote:
>
> Salve a tutti. Studiando geonomia a scuola mi � venuto in mente un problema
> interessante. Pensavo, se io fossi al centro della terra, come sarebbe la
> forza di gravit�?
beh, invece di darti la risposta ti do un aiuto perche' tu riesca a
risponderti
da solo:
pensa a come e' disposta la massa rispetto a te che sei al centro della
terra e
ricorda che puoi costruire la forza totale agente su te sommando le
forze di
"pezzettini" di terra, che puoi immaginare per semplicita' tutti molto
piccoli e
uguali. Nota che questo poter sommare contributi separatamente non e'
banalmente ovvio,
anzi ci sono teorie della gravita' per cui non vale! In questo contesto,
quello della gravita'
newtoniana, prendiamolo per ora come un risultato sperimentale.
>Poi, l'interrogativo si � spostato su di un problema
> simile: se io suppongo di essere vicinissimo ad un corpo, qualunque corpo
> sia, tanto vicino da ammettere che possa essere quasi 0 (0+) quale sarebbe
> il limite per la forza di gravitazione?
>
> lim (Gm1m2/r^2)
> r -> 0+
> Essendo un numero finito al numeratore, diviso per un 0+, il limite sar�
> +inf? Ma significa che esiste un forza di gravit� infinita? Qualcuno
> potrebbe spiegarmi dove sbaglio? Sto interpretando male?
Hai ragione! dalla formula potrebbe sembrare proprio cosi'!
Per capire dove sta il problema, bisognerebbe interpretarla
correttamente e per
far cio' bisogna ricordare da dove e' stata derivata, ma non e' troppo
semplice
per le conoscenze della matematica che hai.
Provo a spiegarmi lo stesso in altro modo.
Innanzitutto ti faccio notare una cosa: vorresti essenzialmente parlare
di corpi
che si avvicinano "fino a toccarsi". Giusto?
Beh, questi corpi dovrebbero avere delle dimensioni e ti puoi
intuitivamente aspettare
che queste giochino un ruolo importante nel determinare la forma del
campo gravitazionale
al loro esterno. Immagina di prendere una certa quantita' di
pongo(qualche kilo, ma
cosi' tanto solo per suggestione, non e' una questione importante)
dividila in due parti uguali
in peso e immagina di modellarle in modo molto diverso: una a forma di
pappagallo e
l'altra a forma di sardina.
Dall'osservazione che ti ho fatto nella risposta alla precedente
domanda, puoi intuitivamente
dedurre che le forze gravitazionali che questi corpi esercitano su
oggetti che stanno al loro esterno all'esterno dovrebbero essere
diverse.
Nota che non l'abbiamo dimostrato, ma stiamo andando un po' a naso.
Comunque e' vero.
Riguarda ora la tua formula; e' costruita con i seguenti ingredienti:
1)le masse totali dei due corpi
2)la distanza....
la distanza?? la distanza da cosa a cosa? potrebbe essere il minimo
delle distanze fra i punti
dei due corpi, oppure potrebbe corrispondere ad un'altra nozione di
distanza...
sembra strano(vista la nota di prima) che la forza gravitazionale
dipenda solo
da questo.
Ma e' anche strano che dipenda in generale solo dalla massa totale e non
da come e' distribuita.
Allora possiamo concludere che forse quella formula non e' una formula
cosi' generale,
ma ha senso solo in alcuni casi particolari.
Riguarda la formula, dobbiamo scoprire in che casi ha senso.
Rinota che questa forza non dipenda da "dove" sono gli oggetti, ma solo
da una "distanza"...
Immagina ora di considerare solo un oggetto, facciamo quello con la
massa m1. Non sai niente della sua
forma e di come e' distribuito in esso la massa. Vogliamo scoprire quale
e' la forza di gravita' che
questo corpo esercita su un corpo che si trova al suo esterno.
Immaginiamo allora di considerare un corpo di massa m2, molto minore di
quello della massa m1.
Dico molto minore perche' vogliamo evitare di perturbare il sistema
costituito dalla massa m1.
Supponi di scoprire che la forza di gravita' fra questi due corpi e'
proprio data dalla tua formula.
Ma cosa e' r?
Introduco un nuovo oggetto, la tua formula diviso m2:
E=Gm1/r^2.
Questo oggetto si chiamo campo gravitazionale della massa m1,che non e'
una forza, ma una forza diviso una massa. Da questo ti puoi ricavare la
forza agente sulla massa m2 semplicemente moltiplicandolo per il valore
di questa.
Perche' l'ho introdotto?
Perche' e' cosi' chiarissimo che esiste un "oggetto" da cui puoi
ricavarti la forza di gravita' che il tuo corpo esercita su altre
abbastanza piccole, che e' a "simmetria sferica", cioe' dipende solo
dalla distanza della tua massettina m2(immaginala di dimensione molto
piccola, cosi' che possa avere senso parlare della posizione di questa
in termini di un solo punto) e un punto privilegiato della massa m1.
Per questo ci si aspetta che la massa m1 abbia anche essa simmetria
sferica, che la sua densita' di massa
abbia anche essa simmetria sferica e che l'"r" della nostra formula
corrisponda alla distanza fra il centro di questa sfera e il punto in
cui immaginiamo di collocare la massa m2.
OK, di nuovo siamo andati a naso, ma, senza equazioni non so fare
altrimenti. Difatti cosi' e'.
Bene, la nostra formula E=Gm1/r^2. e' valida solo per campi
gravitazionali generati da masse a simmetria sferica e all'esterno di
esse.
A tutto questo si aggiunge l'osservazione sperimentale che il campo
gravitazionale generato da due masse e' la somma dei campi
gravitazionali generati da piu' masse, per cui la nostra idea di usare
una massa m2 molto piccola per testare il campo di gravita' della massa
m1 non e' sbagliata.
Ora puoi rispondere da solo all tua domanda: r non tendera' mai a zero,
perche' e' la distanza fra un punto interno a m1 e i punti esterni a m1.
Naturalmente ci sono problemi se consideriamo masse puntiformi: in
questo caso ha senso fare il limite per r che tende a zero nella tua
formula, ma le masse puntiformi potrebbero essere solo una patologia
matematica...
> Ciao e grazie.
>
> Luca Carlon
Ciao
Vittorio
P.S.
Nota personale: e' la prima volta che cerco di spiegare una cosa del
genere e dunque se gli esperti del newsgroup mi faranno notare che non
sono stato chiaro, o che sono stato circolare, o che ho detto cavolate,
o non so che cosa, saro' contento. Non si puo che migliorare.
--
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Received on Thu Feb 21 2002 - 10:56:20 CET