Re: Teorema di Mozzi - Appello accorato

From: Andrea <yhj1j49s41l4x001_at_sneakemail.com>
Date: Thu, 21 Feb 2002 19:41:07 +0100

<ladykelvin_at_excite.it> wrote in message a4ocna$m0s$1_at_gossip.excite.it...
> Ciao Andrea, sei stato davvero molto gentile ad aiutarmi! I tuoi
> passaggi non fanno una piega, ma temo che il mio problema sia proprio
> sul teorema dell'asse centrale! ps.Hai ragione a dire che se avessi
> studiato un po' meglio di problemi non ne avrei ma...ho solo 15 giorni
> per preparare questo esame! Grazie ancora. LadyKelvin

Io non parlavo di come hai studiato, ma di come il tuo professore ha
organizzato il corso. Cio� volevo dirti che se, come credo, il tuo prof ha
fatto le cose per bene spiegando prima i teoremi sui campi vettoriali che
poi userai trecento volte dopo, allora potevi risolvere i tuoi dubbi facendo
un collegamento che ti era sfuggito.
Andiamo avanti:
Teorema dell'asse centrale (caso discreto, il caso continuo � simile)

Dato l'insieme I costituito da n punti di E^3 ( spazio affine euclideo
di dimensione 3), diciamo campo vettoriale una qualsiasi funzione F(P)
da I ad R^3. Sia per ipotesi R = Sum(i = 1..n)[F(P_i)] =\= 0, allora
esiste unica la retta A costituita da tutti e soli i punti P di E^3 rispetto
ai quali il momento risultante � parallelo ad R.


Dim.: Cerco i punti P tali che M_P // R <=> M_P = k_P*R. Allora
scrivo la formula di variazione del momento risultante col polo, per un
punto siffatto: ho

1) M_O+(P-O)^R=k_P*R

Moltiplico vettorialmente primo e secondo membro per R ed ottengo

2) R^M_O+R^[(P-O)^R]=0

da cui

3) R^M_O+[R� R]*(P-O)-[(P-O)� R]*R=0

Scrivo (P-O) = (P-O)_o+(P-O)_p, componenti rispettivamente
ortogonale e parallela ad O. Allora semplici passaggi forniscono

4) (P-O)_o = R^M_O/|R|^2

Posto (P-O)_o = (P1_O), (P1-O) � una soluzione. Qualsiasi altra
ha componente ortogonale ad R pari a (P1-O), e componente parallela
qualunque, poich� sostituendo in 1) il prodotto (P-O)_p^R � sempre 0.
Per cui tutte e sole le soluzioni di 1) hanno espressione

(P-O) = (P1-O)+t*R

che � l'equazione parametrica di una retta per P1 parallela ad R, c.v.d.

 Nota: il momento risultante rispetto ad un qualsiasi punto di A �, per
quanto detto, pari a k_P*R. E' interessante notare che
M_P� R = k_P*R� R = M_O� R => k_P = M_O� R/|R|^2. Dunque k_P
non dipende dal punto P su A, in altre parole il momento rispetto a
qualsiasi punto di A � costante. Questo corrisponde alla propriet�
dell'asse di Mozzi per cui la velocit� dei punti dell'asse, oltre ad essere
parallela ad W, � pure costante e pari alla minima velocit� dell'atto di
moto,pari a 0 se e solo se � nullo l'�nvariante cinematico.

Dato che la precedente dimostrazione assoluta (cio� senza riferimenti ad
un sistema di coordinate), pur semplice, � tutta farina del mio sacco,
correzioni di eventuali errori che mi siano sfuggiti sono particolarmente
gradite.
Ciao a tutti,

Andrea
Received on Thu Feb 21 2002 - 19:41:07 CET