Re: Come sospendere un oggetto tramite due magneti?

From: Paolo Russo <paolrus_at_libero.it>
Date: Sat, 09 Feb 2002 22:12:27 GMT

Sull'equilibrio ho gia` risposto nell'altro messaggio.

[manavita:]
>Questa mi � nuova. Se allontano due calamite la forza di repulsione
>aumenta ?

Due normali calamite a barretta? No. Infatti con quella
configurazione (repulsiva) non ottieni una scodella di
potenziale. Puoi ottenerne una in vari modi, ad esempio con
un magnete anulare, o magari approssimandone uno mettendo
alcune calamite (minimo tre) in cerchio (cerchio giacente su
un piano orizzontale, calamite rivolte in verticale). Sopra
il centro del cerchio c'e` una zona dove le linee di forza
convergono e il campo aumenta allontanandosi (poi dopo
ridivergono, naturalmente). La forza repulsiva dipende, piu'
che dal campo, dal suo gradiente; ci sono zone dove il
gradiente aumenta allontanandosi.
Al di sopra del centro di un magnete ad anello si possono
distinguere cinque zone, a mano a mano che si sale di quota.
Approssimando l'anello a un cerchio di raggio r (spessore
dell'anello circa zero) incontriamo queste zone:

1) 0.00r - 0.37r: /AH -++
2) 0.37r - 0.71r: /AV -+-
3) 0.71r - 1.23r: =RH ++-
4) 1.23r - 1.70r: =AH +--
5) 1.70r - oo : =AV +-+

Dove:
"x - y" sta per: da un'altezza pari a x a un'altezza pari a y
"=" sta per: tendenza di una calamita esplorativa ad
orientarsi nello stesso verso del magnete anulare
"/" sta per: tendenza di una calamita esplorativa ad
orientarsi nel verso opposto a quello del magnete anulare
"A" sta per: forza attrattiva
"R" sta per: forza repulsiva
"H" sta per: instabilita` orizzontale
"V" sta per: instabilita` verticale
"+" e "-" sono i segni della componente verticale del campo e
delle sue derivate prima e seconda

Ci si puo` giustamente stupire dell'esistenza di tutte queste
zone. Ecco, in sostanza succede questo. Nelle prime due zone,
quindi ad altezza bassissima (supponiamo che il magnete
anulare abbia il polo nord verso l'alto), il campo va verso
il basso (l'effetto che in un post precedente avevo chiamato
"innaffiamento"): le linee di forza vanno in alto, curvano
verso l'esterno e anche verso l'interno dell'anello e
ritornano in basso. Al centro dell'anello, quindi, il campo
e` diretto verso il basso. Il verso del campo determina il
verso in cui tende a orientarsi una calamita che si trovi a
passare da quelle parti. Questo spiega il segno "/" nelle
zone 1 e 2: in quella fascia di altezze le linee di forza
convergono e vanno in basso. All'altezza critica di 0.71r le
linee di forza iniziano a convergere curvando in alto
anziche' in basso e il campo cambia polarita`. In effetti a
0.71r c'e` un punto geometrico dove il campo e` nullo. Questo
spiega perche' al di sopra di 0.71r (zone 3, 4 e 5) una
calamita esplorativa tenda ad allineare i poli come il
magnete anulare. Quindi il confine tra le zone 2 e 3 e`
determinato dal fatto che la componente verticale del campo
cambia segno. I confini tra le altre zone sono dovuti al
cambiamento di segno della prima e della seconda derivata
della componente verticale del campo. La prima derivata
determina la forza che il campo esercita sulla calamita
esplorativa (perche` piu' rapidamente il campo varia, piu'
differenza di campo c'e` ai due poli della calamita
esplorativa e piu' nettamente uno dei due poli vince il tiro
alla fune con l'altro polo). La derivata seconda da`
informazioni sulla stabilita` verticale, che e` determinata
appunto dal come varia la forza in funzione dell'altezza. Per
il teorema di Earnshaw, data la simmetria radiale, quando
c'e` stabilita` verticale non c'e` quella orizzontale e
viceversa. Sia il fatto che la forza sia attrattiva o
repulsiva, sia il fatto che l'instabilita` sia verticale o
orizzontale sono influenzati dall'orientazione della
calamita. I simboli A, R, H e V sono stati messi in quella
tabella partendo dal presupposto che la calamita sia lasciata
libera di orientarsi come meglio crede. In una qualunque
fascia, se si rovescia a forza la calamita, gli altri due
simboli vanno invertiti: la forza da attrattiva diventa
repulsiva o viceversa, l'instabilita` da orizzontale diventa
verticale o viceversa. Infatti, passando dalla zona 2 alla 3
la calamita si gira e tutte le proprieta` si rovesciano.

Il caso della scodella di potenziale di cui abbiamo parlato
in precedenza si ottiene rovesciando a forza la calamita
nelle zone 1 e 4: in tal modo si ottiene RV, cioe` repulsione
verticalmente instabile, ma orizzontalmente stabile (effetto
scodella, appunto).
Se non si forza un particolare orientamento della calamita,
l'unica fascia spontaneamente repulsiva e` la 3 (l'unica zona
dove il campo e la sua derivata hanno lo stesso segno, il che
significa che il campo, in valore assoluto, aumenta
allontanandosi), che pero` e` orizzontalmente instabile (ma
nonostante questo ha sempre il suo fascino quando si
giocherella con i magneti anulari o una disposizione anulare
di magneti).
Non dubito che, con un'opportuna disposizione di magneti, si
possa realizzare una scodella di potenziale rotazionalmente
stabile, cioe`�una RV. Alla peggio, aggiungendo all'anello un
magnete molto forte e distante si puo` sommare un campo quasi
uniforme a quello prodotto dall'anello e quindi arrivare a
cambiare il segno del campo senza toccare le derivate, ma
sono sicuro che ci sono sistemi migliori.

Ciao
Paolo Russo
Received on Sat Feb 09 2002 - 23:12:27 CET