Re: Limiti densità neutrino

From: Elio Fabri <fabri_at_df.unipi.it>
Date: Mon, 10 Dec 2001 12:34:50 +0100

Osservatore (Leonardo) ha scritto:
> ...
> Lo spazio delle fasi, lo tratti come uno spazio fisico.
> Cosa intendi per fasi. Io provo a sparare la mia.
> Un elettrone, pu� essere considerato un'onda piana (?) che si propaga > nello spazio.
> Pi� elettroni ci sono, pi� onde piane in propagazione abbiamo.
> Il fatto che citi lo spazio delle fasi � che due onde di elettroni non
> devono essere in fase nello stesso luogo, nello stesso piano?
> E se sono nello stesso luogo ma sfasati non vi sono problemi?
Non credo che si possa indovinare il significato di un termine come
"spazio delle fasi" basandosi sulle parole: ricorda che in fisica (come
in ogni scienza) le parole, anche quando possono essere associate a
significati noti per latra via, debbono sempre essere interpretate in
base a definizioni, che bisogna conoscere.
Nel caso specifico, confesso di non sapere neanche perche' lo spazio
delle fasi si chiama cosi', ma certamente non ha niente a che vedere con
la fase di un'onda, visto che il termine nasce nell'ambito della
meccanica di particelle, ben prima della m.q.
La cosa sta all'incirca cosi'.

Considera una singola particella (punto materiale della meccanica). Puoi
individuare la sua posizione con tre coordinate (x,y,z) e la sua
velocita', o meglio la sua q. di moto, con altri tre numeri: px, py, pz.
In meccanica classica posizione e velocita' (o q. di moto) sono tutto
quanto occorre per determinare il moto della particella a ogni tempo
passato e futuro. Torna quindi utile rappresentare questi dati con un
punto di uno spazio a 6 dimensioni (6 in questo caso particolare) che si
chiama appunto "spazio delle fasi".
In realta' l'importanza dello spazio delle fasi sta in altro: meccanica
hamiltoniana, teorema di Liouville ... ma sorvoliamo.
Quando la particella si muove, cambiando posizione e velocita', il punto
nello sp. delle fasi si muove, descrivendo una traiettoria (detta anche
"curva di fase").
Si puo' calcolare anche nello sp. delle fasi un volume di una data
regione: si tratta pero' di un volume a 6 dimensioni. Puoi intuire che
se prendi un "parallelepipedo" rettangolo, il volume sara' il prodotto
dei lati: tre sono spazio ordinario, e moltiplicati danno il volume
solito; gli altri tre sono componenti dell'impulso, e moltiplicati danno
il "volume nello spazio degli impulsi".
Quindi: il "volume nello spazio delle fasi" e' il prodotto del volume
ordinario e di quello dello sp. degli impulsi.

Se hai un gas di particelle indipendenti, ciascuna avra' il suo bravo
punto, e l'intero gas sara' descritto da una "nuvola" di punti, che si
muovono ciascuno per conto proprio.
Dal punto di vista della meccanica statistica quello che interessa e'
come questi punti sono distribuiti, ossia quanti ce ne sono in ogni
fissata regione dello sp. delle fasi.

E ora debbo spiegare la questione delle "celle". Questa e' una maniera
d'introdurre i risultati della m.q. nella m. statistica classica, ossia
di fare una m. stat. "semiclassica", che non e' esatta, ma fornisce una
descrizione adeguata per i problemi che interessano.
La prescrizione dice: se hai un gas di fermioni, dividi lo spazio delle
fasi in "celle" di volume h^3 (ricorda quanto ho detto sopra sul
volume). Allora in ogni cella potra' stare al piu' una particella (due,
se tieni conto dello spin).
Questo e' il modo di tener conto del principio di Pauli, e vale per i
neutrini come per gli elettroni: solo che per i neutrini non ci sono due
stati di spin, almeno se siamo sicuri che hanno massa nulla.

Si puo' giustificare la prescrizione semiclassica in termini quantistici
rigorosi, usando una base di stati quantistici ortogonali: in pratica
ognuno di questi stati corrisponde a una cella. Potrei dare maggiori
dettagli su questa corrispondenza, ma ora non mi sembra necessario.
Dico solo che per questa via si possono far rientrare le onde alle quali
hai pensato.

> Mi sembra di capire che in una nana bianca, la materia sia in stato di
> plasma, protoni e elettroni non legati.
Diciamo meglio: nuclei ed elettroni.
> I protoni e neutroni essendo pi� pesanti sono al centro della stella, > mentre gli elettroni (pi� leggeri) sono sulla superficie e formaro una > sorta di atmosfera (Gas degenere).
No: sia i nuclei come gli elettroni sono distribuiti in tutta la stella.
Naturalmente la densita' al centro sara' maggiore, e volendo fare
calcoli accurati se ne dovrebbe tener conto. Ma si addensano al centro
sia i nuclei che gli elettroni.
> La reciproca repulsione elettrostatica � compensata dalla notevole
> forza gravitazionale.
Non e' vero neanche questo: il fatto e' che il plasma in media e'
neutro, per cui nessuna particella sente forze elettrostatiche
apprezzabili. Infatti nel modello a particelle indipendenti le
interazioni elettrostatiche sono trascurate del tutto.
Potrei farti il parallelo coi solidi nelle condizioni ... umane: anche
li' succede la stessa cosa. Poi se vuoi capire meglio perche' certi
solidi sono metalli, altri sono isolanti, altri semiconduttori, allora
le interazioni elettrostatiche le devi considerare, e finisci a parlare
di bande, di superfici di Fermi, ecc.
Ma per le nane bianche possiamo farne a meno.

> P � il raggio della stella.
> L'impulso � una lunghezza? Ovvero la lunghezza d'onda dell'elettrone?
> Perch� allora non pu� essere 2P, oppure, il cubo iscritto nella sfera.
> Starebbe sempre dentro la stella.
No! P non e' il raggio della stella e non e' una lunghezza: rileggi con
attenzione quello che ho scritto nella prima puntata, e quello che ho
scritto sopra...
Ricordi cosa ho affermato in partenza? Se si cerca di fare divulgazione
seria, bisogna che il lettore sia disposto a *studiare*, non deve
leggere di corsa e via...

> Con una tale velocit�, ci star� poco dentro una cella nello spazio
> delle fasi, o volume nello spazio dell'impulso.
Questa e' un'osservazione interessante, perche' mostra (agli altri che
forse leggono) che genere di fraintendimenti si possono produrre.
Una cella dello spazio delle fasi *non e'* soltanto spazio ordinario. Se
la cella include certi valori di velocita', finche' la particella
conserva quella velocita', rimane in quella cella.
In realta' se si muove, lenta o veloce, cambia posizione nello spazio:
quindi non resta nella cella a causa del suo moto. Ma c'e' un ...
trucco: disegniamo le celle in modo che seguano il moto delle
particelle. Allora ogni particella resta per definizione nella sua
cella. Il bello e' che queste "celle in movimento" non cambiano volume
(e' il teorema di Liouville) per cui tutto funziona ugualmente.

> Ma tale cella dello spazio delle fasi, quanto pu� essere piccola per
> gli elettroni? esiste un limite minimo dello spazio per cui gli
> elettroni si possono concentrare con energia cinetica = 0 ?
La cella ha dimensioni fissate: h^3. Si puo' giocare nel senso di farla
piccola nello spazio ordinario e grande nello spazio degli impulsi, o
viceversa (se vedi un rapporto con la relazione d'indet., e' proprio
cosi'...).
Non puoi mai avere en. cinetica esattamente 0: se la vuoi piccola, sara'
grande lo spazio fisico, e viceversa.

> e quindi la loro densit� massima?
Quindi non c'e' una densita' massima: solo che se aumenti la densita'
aumenta insieme l'en. cinetica massima (en. di Fermi) e anche quella
media.

> E tornando alla mia domanda principale, anche i neutrini hanno una
> loro cella minima dello spazio delle fasi?
> Quanto pu� essere la densit� massima ?
Credo di avere gia' risposto. Il fatto che abbiano massa nulla non
cambia niente da questo punto di vista.
Ma perche' t'interessa la densita' dei neutrini?
-- 
Elio Fabri
Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica
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Received on Mon Dec 10 2001 - 12:34:50 CET

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