Torno sul tema dopo qualche giorno (non ho avuto tempo prima, anche
perche' ho fatto un po' di conti su questa metrica).
Prima di tutto: quanto avevo scritto
> Quanto ai vettori di Killing, ce n'e' un altro. Pero' decidi un po' come
> vuoi chiamare le cordinate! Se le chiami t,x,y,z, ci sono trasf. di
> Lorentz nel piano t,x.
e' platealmente sbagliato. Consideratelo come non scritto!!
Pero' in realta' c'e' un altro vettore di Killing: v. dopo.
Sul segno del tensore di Riemann hai ragione; non mi ricordavo. Nella
seconda pagina di copertina di "Gravitation" c'e' una tabella
impressionante, dove sono riportate le convenzioni sui segni adottate
dai diversi autori, per il tensore metrico, per il t. di Riemann, ecc.
Ce n'e' per tutti i gusti :-((
Effettivamente Adler usa R col segno opposto a quello che avevo sempre
visto.
> Le coordinate spaziali sono di tipo cilindrico (r, phi, z) in uno spazio
> curvo.
> ...
> Solo per x^1->-oo, dato che le componenti del tensore metrico vanno come
> exp(a*x^1). Ma x^1 � una coordinata radiale, quindi � definita positiva.
> BTW, anche nel 1� caso i conti non tornano perch� g_mu,nu non si riduce alla
> metrica lorentziana.
Purtroppo le cose sono ben piu' complicate...
Primo: la tua x^2 *non e'* una coordinata spaziale, nel senso che le
linee coordinate con x^0, x^1, x^3 costanti sono di tipo tempo.
Allo stesso modo, le sezioni a x^0 costante *non sono spaziali* (guarda
che cos'e' il vettore normale). Percio' non puoi interpretarle come
"spazio", e tanto meno puoi affermare che le coordinate siano
cilindriche.
Secondo: dove sta scritto che x^2 debba essere trattata come una phi?
Potresti deciderlo (ma devi dirlo esplicitamente, non sta scritto nella
metrica) se fosse una coord. spaziale, ma purtroppo non lo e'.
Per la stessa ragione, non hai diritto di affermare che x^1 e' una
coordinata radiale, quindi positiva. Nota che non c'e' nessuna
singolarita' per x^1=0: la metrica non ha singolarita' per nessun valore
reale delle coordinate, ossia la carta puo' essere estesa all'intero
R^4.
Percio' tutta l'interpretazione di "spazio che ruota" ecc. mi pare
debolmente fondata, a meno che non ci siano altri argomenti che non
conosco.
Dicevo di un altro vettore di Killing: c'e' un'isometria cosi' definita:
x^1 |-> x^1 * exp(ac) x^2 |-> x^2 - c con c reale qualsiasi.
Mi e' percio' venuto naturale cambiare la coordinata x^1 al modo
seguente:
u = exp(-ax^1) (ovviamente u>0).
Allora, ponendo per brevita' t=x^0, v=x^2, z=x^3 la metrica diventa
ds^2 = dt^2 - du^2/u^2 + dv^2/(2u^2) + 2 dt dv / u - dz^2
La nuova isometria e' semplicemente u |-> ku, v |-> kv.
Ho anche calcolato le geodetiche. Non sto a scrivere la formula generale
(si puo' dare in funzioni elementari). Il calcolo e' facile, dato che
abbiamo tre vettori di Killing e in piu' la lagrangiana che e' anch'essa
costante del moto.
Volevo verificare che le linee coord. di t fossero geodetiche (non mi
era evidente). E' vero.
Pero' l'interpretazione fisica di tutto cio' non mi e' ancora chiara...
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica
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Received on Wed Nov 07 2001 - 10:08:45 CET