Ciao,
On Thu, 4 Oct 2001 02:16:30 +0200, "Vladimiro Severino"
<wlady75_at_yahoo.it> wrote:
>All'indirizzo
>
>http://www.ennaonline.com/esercizio.jpg
>
>trovate un'immagine che rappresenta un esercizio del compito di
>analisi che ho fatto stamattina: come si svolge?
Secondo me, per svolgerlo ci sono due strade:
1) Strada con i "paraocchi" :-)
Sostiture le espressioni di x=x(t) e y=y(t) nella funziona integranda.
L'espressione della x(t) la "leggi" direttamente dalla prima equazione
della forma parametrica di gamma ( x(t) = 1/t ). Invece l'espressione
della y(t) te la ricavi con la banale integrazione (definita, da 1/e a
t) del secondo membro della seconda equazione parametrica di gamma
(quella della y).
Una volta che hai le espressioni di x(t) e y(t), come ti scrivevo
sopra, le sostituisci dentro la funzione integranda.
A questo punto, hai un integrale definito, in cui la variabile "muta"
(si chiama cosi'? :-) e' la sola "t".
Questo integrale e' banale (non lasciarti intimorire da termini
esponenziali apparentemente astrusi; applica le proprieta'
dell'esponenziale, e vedi che il tutto e' banale).
Infine, una volta trovata una primitiva della funzione integranda, la
calcoli negli estremi dell'intervallo (in t) che la traccia ti
fornisce.
Ed il gioco e' fatto :-)
Questo e' un metodo "brute force" :-) , per cui bastano le conoscenze
elementari sul calcolo degli integrali, che ci insegnano (ci hanno
insegnato...) al liceo scientifico. :-P
2) Strada che preferisco (quella per i "pigri" nei calcoli, come il
sottoscritto :-P)
Facendo una sintesi da alcune cose lette qua e la e sentite dire ad
anlisi :-), mi risulta che, se hai un "campo di forze" (...un campo
vettoriale), questo si dice conservativo quando il lavoro della forza
del campo _non_ dipende dal percorso seguito, ma solo dal punto
iniziale e dal punto finale.
Se hai un campo di forze in R3, per stabilire se e' conservativo, ti
basta verificare che:
A)- le componenti del campo sia funzioni "abbastanza" regolari (credo
C2...se non mi ricordo male)
B)- il dominio sia semplicemente connesso (in poche parole: non deve
avere buchi... :-P)
C)- il rotazionale del campo deve essere nullo (cioe': le derivate in
croce, che sono le componenti del rot, devono essere uguali).
Quindi: campo regolare + dominio semplicemente connesso + campo
irrotazionale => campo conservativo
Se tu consideri la funzione che ti e' stata fornita nel tuo problema,
noti che le 3 condizioni di sopra sono tutte verificate (nota: anche
se la funzione e' di x e y, nessuno mi vieta di pensare ad una
componente z "fantasma", cioe', posso aggiungere "+ 0 dz" alla tua
funzione integranda).
Le componenti del tuo "campo", sarebbero:
X(x,y,z) = x^2 - 1/e^y
Y(x,y,z) = x/e^y
[Z(x,y,z) = 0]
A) sono funzioni C2
B) il dominio e' tutto R2 [R3 se consideri anche la Z "fantasma"](che
e' semplicemente connesso)
C) Hai dX/dy = dY/dx (derivate in croce uguali) = 1/e^y
Quindi, il tuo "campo" (= funzione integranda) e' conservativo, e
quindi il "lavoro" (= integrale) dipende solo dal punto iniziale e dal
punto finale, e _non_ dal particolare percorso seguito per integrare.
Allora, tu integri banalmente lungo un segmento orizzontale e lungo un
segmento verticale. ...e vedi che ti torna lo stesso risultato che
viene col metodo (1) "brute force" (ho provato io stesso :-)
Se segui la strada (2), noti che l'integrazione si semplifica
tantissimo, e puoi tranquillamente trascurare quello "scarabocchio"
:-) della curva gamma che ti e' stato dato nella traccia. Ripeto:
proprio per la conservativita' del campo/funzione integranda, per cui
il lavoro = l'integrale che tu devi calcolare, dipende solo dai punti
iniziale e finale, e _non_ dal percorso seguito (quindi: scegli il
percorso piu' semplice possibile, tipo i due segmenti come ti dicevo
sopra).
>L'integrale dipende dalla curva o solo dagli estremi?
Solo dagli estremi, e non dalla particolare curva.
>Quali condizioni devono verificarsi affinch� l'integrale dipenda solo dagli
>estremi?
Sono tre condizioni:
- componenti del campo/funzione integranda abbastanza regolari (credo
C2)
- dominio di integrazione semplicemente connesso (= senza "buchi" :-P)
- derivate in croce uguali (cioe': rotazionale del campo nullo)
Comunque, tieni conto che io non sono un fisico ne un matematico, ma
uno che "studiacchia" :-P ingegneria (ma la matematica e la fisica
sono le materia piu' belle!!! :-) ...la tentazione di cambiare a
fisica e' forte :-P)
...Puo' anche darsi che avro' scritto delle stupidate...in tal caso,
le correzioni saranno le benvenute :) Cmq, spero di averti dato una
mano.
[OT]
BTW: mi scuso con i "puristi" se ho parlato mischiando campo/funzione
integranda e lavoro/integrale...ma le cose matematiche troppo "pure"
non mi attraggono molto :-), e poi credo (IMHO) che la matematica sia
spinta, nel suo sviluppo, dalla fisica (es.: mi risulta che l'analisi
sia nata per risolvere problemi di calcolo di aree, volumi, tangenti,
velocita' e accelerazioni :-)
[/OT]
...Ops...dimenticavo:
>Per favore rispondetemi subito!!! Ho l'orale tra qualche giorno!!!
in bocca al lupo! :-)
>Grazie in anticipo a tutti.
Di niente! :-)
Ciao
Received on Thu Oct 04 2001 - 23:45:37 CEST
