Re: variazione dell'azione

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: Wed, 26 Sep 2001 17:06:27 +0200

Marcello Sega wrote:
>
> Ciao,
> leggendo un post su it.scienza.matematica sull'eqauzione di
> Eulero-Lagrange mi e' ritornata in mente una (fra le tante)
> domande/curiosita' che ho dovuto lasciare da parte:
> Un modo per ricavare le equazioni del moto o di campo di un sistema fisico
> e' quello di "assegnare" un'azione compatibile con le richieste fisiche
> del sistema ed imporre l'annullarsi della variazione. Mi domando se le
> condizioni di minimo o di massimo abbiano significati fisici differenti
> (immagino che la condizione di massimo si possa trovare per sistemi
> energeticamente limitati superiormente) e come si debba procedere se si
> trovano piu' condizioni di stazionarieta' (ovvero due equazioni del moto o
> di campo). Qualcuno e' in grado di illuminarmi ?

Ciao, secondo me l'ottica giusta e` quella di
pensare che il principio variazionale serva a produrre
equazioni del moto, non direttamente le soluzioni di tali
equazioni moto.
La struttura della lagrangiana che si usa in meccanica e in teoria
dei campi e` tale che si produce una sola equazione
(o sisitemi di equazione) di stazionarieta` annullando
la variazione dell'azione con i soliti vincoli. Se questa equazione
produca una sola soluzione dipende dal tipo di condizioni
che fissi sulle equazioni trovate: se fissi condizioni al bordo,
la risposta e` in genere negativa (ed e` positiva solo se gli estremi
per cui deve passare il moto sono sufficientemente vicini).
Se fissi condizioni di Cauchy su uno solo dei due estremi temporali
allora la soluzione e` sempre unica come ben sai.
Il fatto che la soluzione trovata massimizzi o minimizzi
(o nessuno dei due) l'azione, e` ancora un altro problema
che pero` non e' molto rilevante ai fini del moto.
Si puo` comunque dimostrare che se la lagrangiana e`
del tipo T-V con T definita positiva, allora le curve di
stazionarieta` definiscono dei minimi locali purche`
si considerino intervalli di tempo sufficientemente corti.

Ciao, Valter
Received on Wed Sep 26 2001 - 17:06:27 CEST