Re: Il centro di massa di un sistema isolato è fisso?

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: Sat, 22 Sep 2001 13:33:25 +0200

Elio Fabri wrote:
>
>
> Questo discorso semplice l'ho potuto fare perche' ho considerato un
> sistema fatto di punti materiali non interagenti. Nel caso generale
> (interazioni, campi...) occorre procedere come accennato da Valter.
>

In realta` si puo` dire qualcosa di abbastanza generale se l'interazione
avviene in un singolo evento: si riesce a formulare tutto senza campi e
lagrangiane e si prova facilmente che la conservazione del quadriimpulso
implica il teorema del centro di massa. Ecco come fare.

Prendiamo N punti materiali di masse (nel senso di m^2 = -(P,P))
m1, m2,...mn e quadriimpulso P1,P2,...,Pn.
Se l'interazione avviene in un evento, la proposizione
P1 + ...+ P_n = P'1+ ... + P'n (1)
dove i P' sono i quadri impulsi DOPO l'interazione dei punti,
e` una proposizione assoluta indipendente dal riferimento
inerziale usato per descrivere il processo.
Assumiamo quindi valida la (1) come legge di conservazione
dell'energia-impulso del sistema.

Ora scegliamo un riferimento inerziale con coordinate di Minkowski
t=X^0, X^1,X^2,X^3. Definiamo al tempo t (pongo sempre c=1)

M^i(t) = somma su k di ( tPk^i - Xk^i Pk^0) (2)

essendo Pk^i la componente i-esima del quadrimpulso della particella
k-esima e Xk^i la componente i esima del vettore che unisce l'origine
delle coordinate alla particella k-esima.

si ha, in virtu` della (1),

 M^i(t) = costante

questa vale prima, durante e dopo l'interazione, la costante NON dipende
dal tempo ed e` la stessa prima durante e dopo l'interazione.
La dimostrazione si ha subito derivando il secondo membro di (2) in t.
La derivata produce

somma Pk^i + t d/dt (somma tPk^i) - somma Pk^i
- somma Xk^i d/dt Pk^0

Il secondo addendo e` sempre nullo per ipotesi il terzo termine
(che e` ottenuto come somma (d/dt Xk^i) Pk^0 ) si elide con il
primo e rimane

d/dt M^i(t) = - somma Xk^i d/dt Pk^0.

Ora, nei tempi prima e dopo l'interazione tutti
i Pk sono conservati per cui il secondo membro e` nullo,
nell'istante dell'interazione, dato che avviene in un unico
evento, il secondo membro si scrive

X^i d/dt somma Pk^0

che e` nullo per la conservazione del quadrimpulso totale.
Quindi per ogni M^i e` una costante del moto.

Se P indica il quadrimpulso totale del sistema, che e` per
ipotesi una costante del moto, abbiamo che

somma su k di Xk^i Pk^0 = t P^i - M^i

Nel caso in cui il sisitema sia inizialmente dotato di
componenete spaziale del quadrimpulso nulla (nelle coordinate
considerate), da sopra risulta

P^0 Xcm^i = somma su k di Xk^i Pk^0 = costante^i

dove abbiamo definito la coordinata i-esima del CM come

Xcm^i = somma su k di Xk^i Pk^0/ P^0

essendo P^0 la componente temporale (energia) del quadrimpulso
totale. La definizione di sopra si riduce a quella classica
nel limite di basse velocita ed e` quella che ha dato Elio
nel caso che ha esaminato.

Ciao, Valter
Received on Sat Sep 22 2001 - 13:33:25 CEST