Adriano Amaricci wrote:
> Ma perch� A? cio� perch� tali stati sono la soluzione del problema proprio per A?
Non capisco bene il senso della domanda, cioe` che genere di risposta
vorresti? La risposta piu` banale e` perche` cosi` funziona :-)
Se ho capito il senso della tua domanda posso aggiungere quanto segue.
Nell'oscillatore armonico le osservabili rilevanti sono funzioni di A e
A*.
Ci si aspetta, se uno stato |f> ha senso classico allora
per esempio <f|X|f> e <f|P|f> non abbiano valori banali,
ma valori rilevanti perche` classicamente X e P sono buone osservabili
e volendole vedere come numeri (non operatori) ci si aspetta
che siano il valore medio di osservabili quantistiche su stati
particolari. Se prendi la base degli |n> scopri subito che
<n|X|n> e <n|P|n> = 0, quindi i valori medi di X e P su tali
stati sono banalissimi e tali stati non hanno interpretazione classica.
Il fatto e` che X e P sono combinazioni
lineari di A e A*, e quando fai il valore medio su |n> deve
fare zero perche` A e A* cambiano n e ti ritrovi con prodotti scalari
di cose come <n|n+1>= 0 (oppure -1 al posto di +1). Una possibilita` che
viene in mente per uscire dal problema e` vedere se A o A* hanno
autovettori |f> con autovalori non nulli: se cio' fosse avresti per es.
<f|A|f> = f <f|f> diverso da 0, dove A|f> = f|f>.
Si vede che A* non ha mai autovettori, mentre A ha degli
autovettori che si dicono stati coerenti.
> considerando anche il fatto che A non
> � autoaggiunto sullo spazio delle funzioni d'onda dell' oscillatore quindi
> a rigore non � detto che i suoi autovalori siano fisicamente "buoni".
>
Questo e` un'altro problema: A non e` un'osservabile perche` non e`
autoaggiunto
(e` non e` nemmeno normale, ma e` chiudibile) quindi i suoi autovalori,
in generale
non rappresentano grandezze fisiche. Comunque quel che conta
non sono *direttamente* gli autovalori di A, ma il valore medio di X (e
P e di altre
osservabili) sugli stati coerenti che si scrive in funzione degli
autovalori di A:
tale valore medio alla fine DEVE essere reale perche` X e` autoaggiunto:
a te
la prova!
Dal punto di vista matematico, il teorema spettrale non si applica ad A,
tuttavia
si puo` provare che l'insieme degli stati coerenti (che non e` un
sistema ortonormale)
e` denso nello spazio Hilbert...
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dipartimento di Matematica- Universita' di Trento
moretti_at_science.unitn.it
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Tue Sep 04 2001 - 18:10:37 CEST