Re: Coordinate localmente inerziali

From: valter moretti <moretti_at_alpha.science.unitn.it>
Date: Sun, 2 Sep 2001 14:43:20 +0200

Allora ecco quello che sono riuscito a mettere insieme
del trasporto di Fermi-Walker ripescando nella mia memoria.
La questione e` un po' tecnica ma non
impossibile.

Premessa: se ho una matrice L del gruppo (ortocrono
proprio) di Lorentz, c`e` un *unico* modo di decomporla
in un prodotto

L = P R

dove R e` una semplice rotazione 3x3 che non altera
la componente temporale e P e` una matrice di Lorentz
che ha la proprieta` di essere *simmetrica*.
Questo genere di trasf. sono dette trasformazioni
*pure* di Lorentz (le trasf. speciali sono trasformazioni
 pure lungo uno dei tra assi cartesiani spaziali).
Dal punto di vista delle algebre di Lie le trasf. pure
sono tutte e sole le trasf di Lorentz generate dai
cosiddetti "boost".
Dal punto di vista fisico le trasf. pure rappresentano
le trasf di Lorentz tra sistemi di coordinate inerziali
"non ruotati uno rispetto all'altro".
Sussiste un'analoga decomposizione, unica anche essa,
L= RP' (R e` la stessa ma P no).
Un fatto importante e` che le trasf. pure non formano
un sottogruppo ma la composizione di due trasf. pure
contiene una rotazione: l'effetto fisico di cio`
e` qualla che si chiama "precessione di Thomas".
(Altre conseguenze vengono fuori in teoria dei campi
quantistica relaivistica con la "rotazione di Wigner"
quando si rappresenta unitariamente il gruppo di Lorentz
per particelle dotate di spin. )

Torno al trasporto di Fermi-Walker.
Mi metto in Relativita` Speciale e prendo un corpo
puntiforme che porta una terna ortonormale
(infinitesima) e lo lascio evolvere con una curva
di tipo tempo. Ad ogni istante t di tempo proprio
la terna ed il quadriversore normale alla curva
spaziotemporale dell'oggetto determinano un sistema di
coordinate minkowskiane di un riferimento
inerziale in quell'istante in quiete con l'oggetto:
4 versori applicati alla curva di cui 3 spaziali,
E1,E2,E3
perpendicolari tra di loro e alla curva
e uno dato dal versore tangente E0
Avro` una legge di evoluzione:

Ek= Ek(t), k=0,1,2,3

Questa legge mantiene la geometria (ortonormalita`
della terna) per ipotesi.
Fissiamo due istanti t e t+dt, con i corrispondenti
riferimenti inerziali I(t) e I(t+dt) determinati
dalle coordinate Minkowskiane come detto.
Ci sara` una trasformazione del gruppo di Lorentz
che connette i due sistemi di coordinate L(t,t+dt),
lavorando al prim'ordine in dt ci chiediamo se
e` possibile fissare la legge di evoluzione di sopra
in modo tale che L(t,t+dt) sia, per ogni t
una trasformazione *pura* di Lorentz.
Si dimostra (con un po' di contacci)
che c'e` un unico modo di fare cio':
il Trasporto di Fermi-Walker: le leggi di evoluzione
Ek = Ek(t)
devono risolvere separatamente l'equazione
di Fermi-Walker che ora scrivo in componenti.
Se V = V^mu e` un campo vettoriale definito sulla curva,
mu indice controvariante, il trasporto di F-M
e` dato dall'equazione

 dV^mu/dt = (A^nuT^mu -A^muT^nu) V_nu (1)

t e` la lunghezza propria della curva, il tempo proprio,
T e` il versore tangente alla curva, A la derivata
di T rispetto al tempo proprio.
La (1) la posso usare anche in Relativita` Generale
per definire il concetto di vettore (o terna di vettori
spaziali normali alla curva) trasportati "senza ruotare"
su una curva assegnata.
Notare che se fisso un vettore a t=0 su una curva,
la soluzione (l'unica) della (1) con tale condizione
iniziale mi determina un vettore per ogni t (cioe`
trasportato) lungo la curva, in questo senso la (1)
e` un'equazione di trasporto.
Lascio da verificare che il vettore tangente T
e` sempre trasportato senza ruotare lungo
una curva (infatti la "rotazione" riguarda
solo cio' che accade nel trispazio di quiete
con gli eventi della curva di universo istante
per istante). Inoltre, e` immediato verificare
che se la curva e` una geodetica l'equazione di F-W
coincide con l'equazione del trasporto parallelo.

Se faccio evolvere senza ruotare nel senso detto,
per esempio una particella con momento angolare intrinseco,
(basta che nel sistema istantaneo di quiete il momento
delle forze sia nullo) in modo che non descriva una geodetica
e che per un osservatore inerziale arbitrario fissato
l'accelerazione non sia parallela alla velocita`,
si puo` mostrare che (dato che le
trasformazioni pure non formano un gruppo),
l' osservatore descrivera` il (quadri) vettore
di spin ruotare comunque, rispetto alle sue coordinate
minkowskiane. Questo fenomeno e` la
precessione di Thomas che e` stata osservata
sperimentalmente...

Ciao, Valter
Received on Sun Sep 02 2001 - 14:43:20 CEST