Re: Curiosità sulla RG.

From: rez <rez_at_tiscalinet.it>
Date: 28 Aug 2001 20:10:12 GMT

On Mon, 27 Aug 2001 13:56:52 +0200, Valter Moretti wrote:

[...]
>Ho sentito recentemente un seminario di storia della
>Fisica-Matematica in cui si spiegava che non e` proprio che
>Levi-Civita abbia affiancato Einstein.
Be' sapevo gia` al momento stesso in cui scrivevo che difficilmente
ci si poteva riferire a lui. Mi proponevo infatti, in assenza di una
replica, di segnalarlo successivamente.

> E` accaduto solo che
>Einstein e Levi-Civita hanno avuto un carteggio per pochi mesi
>mesi in cui il secondo cercava di convincere il primo
>(che per la verita` non voleva farsi convincere affatto!)
>che una sua iniziale formulazione della RG era matematicamente
>inconsistente proprio per il NON uso da parte di Einstein del
>cosiddetto "tensore di Einstein" che in realta`,
>come dici tu, l'ha piu` studiato Levi-Civita che Einstein
>dimostrando anche un primo teorema di unicita`.
Si`.
Aggiungo qualche altra notizia con piacere, vista la mia ammirazione
per Levi-Civita:-)) da alcuni appunti del suo allievo G. Krall, Roma.

Einstein, prima posizione:
(1) G_ik=-kT_ik ...k=(8pigreco*f)/c ...f= cost. univ.
Per c-->inf., si ha: (1) --> Equ. di Laplace-Poisson (cioe`
gravitazione universale).

Einstein, seconda forma:
(2) G_ik=-k[T_ik - (1/2)(g_ik)T] ...T=invariante di T_ik

Valide (Einstein stesso lo affermava) solo per:
(3) radice(-g)=1 ...g=det||g_ik||

Successivamente diede ancora altre equazioni, che assunse come valide
in generale, cioe` senza la limitazione (3). Ma anche queste
presentavano risultati non molto rispondenti alle dirette intuizioni
fisiche: onde gravitazionali spontanee (libere) che spiego` con
considerazioni su stati quantici analoghi a quelli ideati per i
microsistemi planetari atomici.

Levi-Civita (nota lincea, aprile 1917)
Dimostro` (con alcune identita` del Bianchi) che non occorreva invocare
affatto la teoria dei quanti, potendosi (anzi dovendosi) abbandonare le
nuove equazioni dell'Einstein poiche' palesavano un equivoco analitico.
(4) A_ik=G_ik-(1/2)(g_ik)G ...G=inv. di G_ik (curv. media di Ricci)

Per queste si ha effettivamente: div(A_ik)=0
e le euazioni gravitazionali divengono:
(5) A_ik=-kT_ik

Quste si identificano con quelle di Einstein quando appunto nelle (2)
si ha: radice(-g)=1, e le chiamo` percio` senz'altro (in conformita`
con il suo carattere) "equazioni generali dell'Einstein".

Al tensore A_ik diede la sola denominazione di tensore gravitazionale o
tensore inerziale (dal ds quadro dipendono infatti gravita` e inerzia).
Tale denominazione fu mantenuta dall'Einstein (III ediz. de "Il
significato della relativita`").

Al tensore G_ik (che e` il tensore contratto di Riemann) diede infine
la denominazione esplicita di "tensore gravitazionale dell'Einstein".

Le (5) rappresentano una generalizzazione del teorema di d'Alambert:
"Le forze perdute e le forze d'inerzia si fanno equilibrio" e dunque
e` cio` che di piu` completo si possa concepire dal punto di vista
meccanico, annullandosi non solo la forza totale applicata ad ogni
singolo elemento, ma anche (tenendo conto dell'inerzia per il tramite
di A_ik) sforzi, impulso, flusso e densita` di energia.

* * *

Einstein, in una nota all'Accademia di Prussia nel novembre dello
stesso anno, completo` le (5) con un termine correttivo
"cosmologico", necessario per evitare difficolta` all'infinito.
Difficolta` d'altra parte gia` note in campo newtoniano (conflitto tra
meccanica newtononiana e meccanica statistica), che erano state risolte
aggiungendo un termine estremamente piccolo all'equazione di Poisson.

Einstein pertanto aggiunse analogamente, al tensore A_ik di Levi-Civita,
un termine (tensore) piccolissimo: lambda*g_ik, che da` per c-->infinito
proprio l'espressione corretta dell'equazione di Laplace, salvando cosi`
il principio statistico (legge di Boltzman per i gas).

Specializzando lambda si ritrovano (per una densita` costante) i vari e
fin troppo noti casi di ipotesi di spazio sferico o no e di curvatura,
riportati anche in pubblicazioni divulgative. Esempio, nelle prime
ipotesi di de Sitter la densita` e` dell'ordine di appena 10 alla -26
grammi al centimetro cubo e dunque il raggio della ipersfera di dieci
milioni di siriametri.

* * *

Nello stesso anno 1917 il Levi-Civita diede un altro suggestivo esempio
di soluzione rigorosa delle equazioni di Einstein, ma senza termine
cosmologico. Considera il tensore energetico corrispondente ad un campo
elettrico (o magnetico, che e` lo stesso a seconda del moto
dell'osservatore) uniforme.
A questa nota segui` un gruppo di altre sette sue note lincee sulla
statica einsteiniana e successivamente, ma senza continuita`, sul
problema degli n corpi.

[...]
>In ogni caso Levi-Civita da solo non avrebbe mai potuto
>arrivare alla RG perche` non aveva avuto e non l'aveva mai
>cercata l'intuizione fisica di Einstein sul principio di
>equivalenza.
E` solo la sorte, che la relativita` non sia un trionfo della
matematica, anziche' della fisica e della filosofia della scienza.
E che solo per estrema concessione ai fisici non si chiami
relativita` del gruppo G_10 (relativita` speciale) o dei gruppi
continui G_infinito (relativita` generale).
Tanta favorevole disposizione dei matematici (Bianchi, Ricci e
Levi-Civita stesso) per la nozione di invarianza, fu alla fine
considerata scherzosamente "quasi troppa" da Einstein stesso.

[...]
> Tutta l'analisi tensoriale come
>oggi la conosciamo oggi fu costruita rigorosamente ed applicata
>a tantissimi campi della fisica (non solo alla RG, ma anche
>alla meccanica dei continui, alla teoria dell'elasticita`
Gia`, l' "indicatore" di Levi-Civita.. a quello almeno il suo nome
e` rimasto legato:-))
.ah no, anche il trasporto parallelo:-)))

>alla meccanica analitica...) da lui e da Ricci-Curbastro.
Gia`, Levi-Civita era stato infatti allievo di Ricci.

>Credo che anche H.Weyl abbia avuto rapporti di lavoro
>con Einstein.
Quella di Weyl era l'opera con trattazione piu` generale e completa,
chissa` se lo e` ancora..

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ciao Remigio |                 ||==> E-mail: remigioz_at_tiscalinet.it
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