Re: Coordinate localmente inerziali

From: Rob_jack <rob_jackNO_SPAM_at_libero.it>
Date: Fri, 31 Aug 2001 12:49:01 GMT

Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it> wrote in message
3B8E32BB.7A6E0D66_at_science.unitn.it...
>
> Avevamo discusso su it.scienza.matematica
> dell'esistenza di coordinate localmente inerziali
> che esistono per un tempo finito attorno ad
> un osservatore in caduta libera (e non solo
> per un istante). Ho deciso di postare anche
> la dimostrazione che ho fatto perche` magari
> puo` servire anche a qualche
> studente... (inoltre la cosa rimane sull'archivio
> di deja e se qualcuno ripone la stessa domanda
> basta invitarlo a rileggersi 'sto paccazzo).

Ciao Valter, ho appena salvato tutta la dimostrazione (appena avr� tempo me
la studier�). Ho notato che � completamente diversa (leggi: pi� avanzata) di
quelle comunemente riportate sui libri di testo. Quella che conosco io �
cos�:

Condizione necessaria e sufficiente affinch� uno spazio tempo sia localmente
euclideo � che le connessioni affini C[alpha, mu, nu] siano simmetriche
negli indici inferiori mu e nu.
Nota: [alpha, mu, nu] sono indici tensoriali; precisamente, alpha � un
indice superiore, mentre mu, nu sono indici inferiori. Adotto la convenzione
secondo cui con le lettere greche si indicano indici spazio-tempo, cio�
variabili da 0 a 4, mentre le lettere latine indicano indici spaziali e come
tali variabili da 1 a 3.
Una possibile dimostrazione geometrica � la seguente:

Sia P un evento arbitrario; quindi considero due vettori infinitesimi
controvarianti du[nu] e dv[nu] applicati in P.

dv*[nu]=dv[nu]-C[nu, alpha, beta]dv[alpha]du[beta]

Cio�, dv*[nu] � il vettore dv[nu] parallelamente trasportato lungo la
direzione du. Il risultante dei vettori du[nu] e dv*[nu] �:

da[nu]= du[nu]+ dv[nu]-C[nu, alpha, beta]dv[alpha]du[beta] (1)

Adesso eseguo il trasporto parallelo infinitesimo di du[nu] lungo la
direzione dv:

du*[nu]=du[nu]-C[nu, alpha, beta]du[alpha]dv[beta]

Quindi faccio il risultante di dv e du* :

db[nu]= dv[nu]+ du[nu]-C[nu, alpha, beta]du[alpha]dv[beta] (2)

Il confronto con la (1) porge:

db[nu]=da[nu]+2(C[nu, alpha, beta]- C[nu, beta, alpha])dv[alpha]du[beta]

Se db[nu] � diverso da da[nu], il parallelogramma non si chiude, e la
geometria differisce da quella euclidea anche a piccola scala, mentre noi
vogliamo il contrario. Quindi:

Per ogni dv, du, db[nu]=da[nu] => C[nu, alpha, beta]- C[nu, beta, alpha]=0

Cio� le connessioni sono simmetriche negli indici inferiori.

Assegnato uno spazio-tempo in cui le connessioni affini sono simmetriche, ci
si pu� chiedere se esiste un sistema di coordinate localmente definito in
cui esse sono nulle. La risposta � affermativa e tale sistema pu� costruito
nel seguente modo:

1) Prendo ad arbitrio un punto P(y) dello spazio-tempo e un suo intorno
infinitesimo w(P).
2) Eseguo una trasformazione di coordinate in tale intorno:

x'[mu]=f(x[nu]), con x in w(P)

3) Espando f in serie di potenze di (x-y) troncata al second'ordine.

x'[mu]=(x[mu]-y[mu])+A[mu, alpha, beta](x[alpha]-x'[alpha])(x[beta]-x'
[beta]) (3)

Qui A[mu, alpha, beta] sono coefficienti costanti.

N.B. La permutazione degli indici muti porge: A[mu, alpha, beta]= A[mu,
beta, alpha]
4) Inverto l'espansione di f:

x[mu]-x'[mu]=x'[mu]+ B[mu, sigma, rho]x'[sigma]x'[rho] (4)

Sostituendo la (4) nella (3) e conservando i termini fino al second'ordine
in x, otteniamo:

B[mu, alpha, beta]=- A[mu, alpha, beta] (5)

A questo punto, mi vado a calcolare le connessioni affini nel nuovo sistema
di coordinate, attraverso l'equazioni di trasformazione, e imponendo C'=0
(dopo molti passaggi) si ottiene:

A[mu, alpha, beta]=(1/2) C[mu, alpha, beta] (6)

In virt� della (6) la (3) diventa:

x'[mu]=(x[mu]-y[mu])+C[mu, alpha, beta](x[alpha]-x'[alpha])(x[beta]-x'
[beta]) (7)

Nel nuovo sistema di coordinate � C'=0. Quindi, comunque prendo un vettore
b[mu], risulta deltab[mu]=0, essendo delta l'operatore di trasporto
parallelo infinitesimo. Questa condizione caratterizza uno spazio euclideo
in coordinate cartesiane. Ci� ci autorizza ad asserire che relativamente al
nuovo sistema di coordinate, lo spazio � euclideo.


 INTERPRETAZIONE FISICA.


Principio di equivalenza.

Un campo gravitazionale � equivalente a un sistema di riferimento
accelerato, quindi non inerziale.


Possibilit� di eliminare localmente un campo gravitazionale.

Se in un certo sistema di coordinate risulta C=0, posso avere due casi
distinti:

a) Mi trovo in uno spazio-tempo piatto, ma sono capitato in un complicato
sistema di coordinate curvilinee. In tal caso esiste sempre una
trasformazione \ di coordinate che mi annulla le connessioni. Ad esempio,
nello spazio euclideo R^3 in coordinate sferiche le connessioni sono non
nulle. Tuttavia, se passo a coordinate cartesiane, esse si annullano. Uno
spazio siffatto non contiene materia e come tale � privo di interesse
fisico.

b) Mi trovo in uno spazio-tempo curvo. Adesso non esiste una trasformazione
globale di coordinate che mi annulla le connessioni. Fisicamente, significa
che sono immerso in un campo gravitazionale, il quale non pu� essere
eliminato attraverso una trasformazione di coordinate. Ci� per� pu� essere
fatto localmente, passando a coordinate localmente geodetiche. Qui lo spazio
� euclideo, perci� il sistema di riferimento � inerziale (localmente).

Infatti, in un riferimento inerziale lo spazio verifica i postulati della
geometria euclidea.
Quindi, la richiesta della simmetria delle connessioni affini � vitale,
affinch� un campo gravitazionale possa essere eliminato localmente.

Un sistema di riferimento localmente inerziale � un sistema in caduta libera
in un campo gravitazionale. Infatti, assegnato un campo gravitazionale, a
parit� di condizioni iniziali, particelle di massa diversa, si muovono allo
stesso modo nel campo, poich� l'accelerazione � indipendente dalla massa. Un
aggregato di tali particelle simula un sistema inerziale, giacch� esse sono
in quiete relativa.

Cosicch�, attraverso un sistema in caduta libera, eliminiamo localmente un
campo gravitazionale.


Secondo te, � corretto questo procedimento o ci sono dei bachi.

Un grazie in anticipo

Rob_jack
Received on Fri Aug 31 2001 - 14:49:01 CEST