Re: Coordinate localmente inerziali

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: Fri, 31 Aug 2001 16:19:23 +0200

Rob_jack wrote:

> Ciao Valter, ho appena salvato tutta la dimostrazione (appena avr� tempo me
> la studier�). Ho notato che � completamente diversa (leggi: pi� avanzata) di
> quelle comunemente riportate sui libri di testo. Quella che conosco io �
> cos�:
>
> Condizione necessaria e sufficiente affinch� uno spazio tempo sia localmente
> euclideo � che le connessioni affini C[alpha, mu, nu] siano simmetriche
> negli indici inferiori mu e nu.

Ciao, cosa intendi per "localmente euclideo?"
Cerco di capirlo da sotto.


(cut)
> Se db[nu] � diverso da da[nu], il parallelogramma non si chiude, e la
> geometria differisce da quella euclidea anche a piccola scala, mentre noi
> vogliamo il contrario. Quindi:
>
> Per ogni dv, du, db[nu]=da[nu] => C[nu, alpha, beta]- C[nu, beta, alpha]=0
>
> Cio� le connessioni sono simmetriche negli indici inferiori.

Va bene, tu hai mostrato che condizione necessaria e sufficiente
perche` al prim'ordine i parallelogrammi del tipo che consideri
si chiudano e` che la connessione sia "senza torsione", cioe` simmetrica
negli indici bassi. Allora assumo d'ora in poi che,
localmente euclideo = assenza di torsione.


>
> Assegnato uno spazio-tempo in cui le connessioni affini sono simmetriche, ci
> si pu� chiedere se esiste un sistema di coordinate localmente definito in
> cui esse sono nulle. La risposta � affermativa e tale sistema pu� costruito
> nel seguente modo:
>
> 1) Prendo ad arbitrio un punto P(y) dello spazio-tempo e un suo intorno
> infinitesimo w(P).
> 2) Eseguo una trasformazione di coordinate in tale intorno:
>
> x'[mu]=f(x[nu]), con x in w(P)
>
> 3) Espando f in serie di potenze di (x-y) troncata al second'ordine.
>
> x'[mu]=(x[mu]-y[mu])+A[mu, alpha, beta](x[alpha]-x'[alpha])(x[beta]-x'
> [beta]) (3)
>
> Qui A[mu, alpha, beta] sono coefficienti costanti.
>
> N.B. La permutazione degli indici muti porge: A[mu, alpha, beta]= A[mu,
> beta, alpha]
> 4) Inverto l'espansione di f:
>
> x[mu]-x'[mu]=x'[mu]+ B[mu, sigma, rho]x'[sigma]x'[rho] (4)
>
> Sostituendo la (4) nella (3) e conservando i termini fino al second'ordine
> in x, otteniamo:
>
> B[mu, alpha, beta]=- A[mu, alpha, beta] (5)
>
> A questo punto, mi vado a calcolare le connessioni affini nel nuovo sistema
> di coordinate, attraverso l'equazioni di trasformazione, e imponendo C'=0
> (dopo molti passaggi) si ottiene:
>
> A[mu, alpha, beta]=(1/2) C[mu, alpha, beta] (6)
>
> In virt� della (6) la (3) diventa:
>
> x'[mu]=(x[mu]-y[mu])+C[mu, alpha, beta](x[alpha]-x'[alpha])(x[beta]-x'
> [beta]) (7)
>
> Nel nuovo sistema di coordinate � C'=0. Quindi, comunque prendo un vettore
> b[mu], risulta deltab[mu]=0, essendo delta l'operatore di trasporto
> parallelo infinitesimo. Questa condizione caratterizza uno spazio euclideo
> in coordinate cartesiane. Ci� ci autorizza ad asserire che relativamente al
> nuovo sistema di coordinate, lo spazio � euclideo.
>

Mi pare OK (non ho letto in dettaglio perche` e` la stessa
prova che fa Landau e che conosco). Quindi hai provato che se hai una
connessione affine senza torsione, cioe` simmetrica, per ogni fissato
punto p puoi definire, nell'intorno di tale punto un sisitema di
coordinate
locali tali che i coefficienti della connessione si annullano tutti
esattamente in p (ma non fuori di p).

Si la stessa dimostrazione si ottiene subito usando le coordinate
dell'exponential map come ho detto io nella premessa del mio
post (non e` necessario che la connessione sia metrica, sia
cioe` quella di Levi-Civita per usare quella parte della dimostrazione).
Come risultato generale vale che data una connessione arbitraria,
le coordinate ottenute tramite l'exponential map sono tali da
annullare *la perte simmetrica* dei coefficienti di conenssione
nel centro delle coordinate.
Quello che invece ho provato e` che se la connessione e` quella
di Levi-Civita, cioe` quella costruita con la metrica, allora
addirittura si riescono ad annullare i coefficienti della
connessione lungo un tratto finito di una geodetica, costruendo
un sistema di coordinate particolari attorno a tale tratto.




> INTERPRETAZIONE FISICA.
>
> Principio di equivalenza.
>
> Un campo gravitazionale � equivalente a un sistema di riferimento
> accelerato, quindi non inerziale.
>
> Possibilit� di eliminare localmente un campo gravitazionale.
>
> Se in un certo sistema di coordinate risulta C=0

> posso avere due casi
> distinti:
>
> a) Mi trovo in uno spazio-tempo piatto, ma sono capitato in un complicato
> sistema di coordinate curvilinee. In tal caso esiste sempre una
> trasformazione \ di coordinate che mi annulla le connessioni. Ad esempio,
> nello spazio euclideo R^3 in coordinate sferiche le connessioni sono non
> nulle. Tuttavia, se passo a coordinate cartesiane, esse si annullano. Uno
> spazio siffatto non contiene materia e come tale � privo di interesse
> fisico.
>

OK (privo di interesse fisico non direi, se fai anche la teoria
quantistica, la teoria delle coordinate
accelerate: il cuneo di Rindler, permette di arrivare a capire
la radiazione di Hawking in termini semplici...)

> b) Mi trovo in uno spazio-tempo curvo. Adesso non esiste una trasformazione
> globale di coordinate che mi annulla le connessioni. Fisicamente, significa
> che sono immerso in un campo gravitazionale, il quale non pu� essere
> eliminato attraverso una trasformazione di coordinate. Ci� per� pu� essere
> fatto localmente, passando a coordinate localmente geodetiche. Qui lo spazio
> � euclideo, perci� il sistema di riferimento � inerziale (localmente).

E` corretto se *localmente* significa *esattamente in un evento*.


>
> Infatti, in un riferimento inerziale lo spazio verifica i postulati della
> geometria euclidea.

Non e` proprio cosi`. In un riferimento inerziale quello che accade
e` che le geodetiche sono descritte da moti rettilinei uniformi.
Ora se ti metti in coordinate che annullano i coefficienti di
connessione
esattamente nell'evento p, accade che *in quelle coordinate*
i moti dei corpi in caduta libera che escono dall'evento p sono
descritti da un moto rettilineo uniforme fino ad infinitesimi
del secondo ordine nel tempo proprio: dato che l'equazione delle
geodetiche e` (A^mu significa A con l'indice alto mu, A_mu invece ha
l'indice basso mu)

d^2x^mu/dt^2 = G^mu_{nu pi}(x(t)) dx^nu/dt dx^pi/dt

Se prendi una geodetica che parte da x(0) = p in cui i
simboli di connessione si annullano, l'equazione di
sopra ti dice che il secondo membro per t=0 si annulla
ma allora anche il primo membro si annulla.
Se prendi lo sviluppo di taylor della geodetica sviluppato
in t=0 hai che

x^mu(t) = x^mu(0) + dx^mu/dt(0)t + 0 + ordini di grado t^3

quindi fino al secondo ordine hai un moto rettilineo uniforme
(in realta` t e` il tempo proprio, ma se passi nel tempo
delle coordinate non cambia ninete con al stessa
approssximazione), Se prendi coordinate arbitrarie il termine
che sopra e` nullo divente un costante * t^2 e il moto,
in generale, lo vedi come accelerato (nella stessa
approssimazione). Tutto qui.



> Quindi, la richiesta della simmetria delle connessioni affini � vitale,
> affinch� un campo gravitazionale possa essere eliminato localmente.
>

Questo si, pero` la simmetria e` automatica se assumi come si fa in RG
che la connessione sia quella data dalla metrica (quella di Levi-Civita)


> Un sistema di riferimento localmente inerziale � un sistema in caduta libera
> in un campo gravitazionale.

Questo e` vero fisicamente, pero` questo dai conti che hai fatto
tu non si vede molto bene: tu hai annullato la connessione in un evento,
non lungo una geodetica (moto di caduta libera).
La dimostrazione che ho dato io era
proprio per dare senso matematico a tale affermazione: prendo un tipo
in caduta libera = la sua linea di universo e` una geodetica,
e mostro che attorno a lui c'e` un riferimento localmenteinerziale,
cioe`
un sistema di coordinate in cui la connessione si annulla
*esattamente* sugli eventi attraversati dalla sua linea di
universo.



> Infatti, assegnato un campo gravitazionale, a
> parit� di condizioni iniziali, particelle di massa diversa, si muovono allo
> stesso modo nel campo, poich� l'accelerazione � indipendente dalla massa.
> Un aggregato di tali particelle simula un sistema inerziale, giacch� esse sono
> in quiete relativa.
> Cosicch�, attraverso un sistema in caduta libera, eliminiamo localmente un
> campo gravitazionale.
>
Tutto questo e` vero *fisicamente*, il problema e` (era) come
dirlo in termini matematici...


> Secondo te, � corretto questo procedimento o ci sono dei bachi.
>

E` corretto, ma ad un certo punto si perde un po' il legame
tra concetti fisici e la loro rappresentazione matematica.
Ma su molti testi e` cosi`...
 
> Un grazie in anticipo
>
> Rob_jack

Ciao, Valter


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 Valter Moretti
 Dipartimento di Matematica- Universita' di Trento
 moretti_at_science.unitn.it
 http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Fri Aug 31 2001 - 16:19:23 CEST

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