Re: Le variabili canoniche in meccanica classica (ex: Ancora sul Tempo in meccanica quantistica)

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: Fri, 10 Aug 2001 15:20:47 +0200

Fabrizio del Dongo wrote:

> Non conosco la condizione di Lie ( ne' quella di Weyl) a cui Valter si
> riferisce (immagino che l' abbia studiata sull' Arnold, libro che io non
> sono mai riuscito a penetrare...sob!).

Ciao, no, non l'ho studiata sull'Arnold anche se c'e',
che e` un po` vecchiotto come testo, ance se secondo me e` il migliore
in circolazione. Noi qui usavamo una formulazione basata sui jet-bundles
su cui non credo che esista qualche libro di testo. Dico *usavamo*
perche` ora con il nuovo ordinamento dei corsi piu` della 4 operazioni
 non usiamo (quando vado a fare gli esercizi agli studenti di fisica
e` gia` tanto se uso F=ma...Invece per i matematici non c`e` problema:
non e` piu` obbligatorio che facciano corsi di meccanica analitica,
infatti non lo fa piu` nessuno :-( ).

> Tanto per fare il raffinato su
> questioni di lana caprina, dir� che NON tutte le trasformazioni canoniche
> (nel senso che l' inversa della matrice della loro linearizzazione gode di
> certe propriet�) � ricavabile da una funzione generatrice, come la
> trasformazione canonica che permuta le variabili canoniche di partenza: ma
> ogni trasformazione canonica � una permutazione composta ad una
> trasformazione canonica della quale esiste una generatrice!!!
>

Infatti la definizione migliore e` quella non basta sulle funzioni
generatrici che usa la matrice simplettica...


> Non capisco questo punto. Si e' visto che E e k sono due oneste variabili
> canoniche perche' ho esibito la loro funzione generatrice: la loro
> interpretazione fisica, in un primo momento, non mi interessa! Se avevo il
> problema di trovare i moti del sistema di hamiltoniana H, con dato
> iniziale (p_0,q_0), al tempo t_0, ora so che posso equivalentemente
> risolvere il problema associato all' Hamiltoniana con dato iniziale
> (E(p_0,q_0),k(p_0,q_0)), sempre al tempo t_0.
> Ora succede che, per aver scelto la dipendenza di E da p e q coincidente con
> la dipendenza dell' Hamiltoniana da p e q, il moto "vero" e' tale che :
> E(t) = E(t_0)
> k(t) = t-k(t_0)
> Inoltre, dalla relazione esplicita di k in funzione di p e q, calcolata sul
> moto vero, viene furori che k(t_0) = t_0.
> Allora, ESCLUSIVAMENTE lungo le traiettorie del moto "vero", la variabile
> E ha il significato di energia del sistema e la variabile k ha il
> significato di tempo trascorso a partire dal tempo iniziale.
> Mi pare, grosso modo (in specifico, come detto, non ho capito), che Valter
> obietti proprio che non e' sufficiente che k abbia il significato di tempo
> solo lungo il moto vero; ma questa e' la stessa identica situazione dell'
> Hamiltoniana: essa ha si' il significato di energia, ma ESCLUSIVAMENTE sul
> moto "vero"!!!

No non e` cosi' dimentichi in che ambiente siamo:
lo spazio delle fasi.
Non c'e' bisogno di fissare un moto per interpretare le osservabili:
lo stato nello spazio delle fasi lo determina automaticamente!
Mi spiego meglio.
Uno stato nello spazio delle fasi e` definito assegnadone un punto
ad un tempo t,q,p. Cio' equivale a fissare un moto:l'unico moto che a t
passa per q, p. Le osservabili classiche sono funzioni dallo spazio
delle fasi prodotto caresiano con l'asse dei tempi a valori in R.
(in realta` bisognerebbe introdurre lo "spaziotempo delle fasi"
ma non mi dilungo). L'hamiltoniana e` un'osservabile ben definita.
Quando assegni lo stato: (t,q,p) e H(t,q,p) e` l'hamiltoniana dello
stato
(t,q,p) o che e` lo stesso, se valgonio certe condizioni, e`
l'energia (rispetto ad un certo riferimento) dello stato ovvero
dell'unico
moto che passa al tempo t per q,p.
La funzione k e` una funzione dello stato anche lei ed e` quindi
un'osservabile. Tuttavia *e` falso* che per ogni t,q, p
 k(t,q,p) = t
come invece vorresti.

> Cioe' in meccanica quantistica NON esiste un operatore
> energia, ma solo un operatore detto Hamiltoniano i cui autovalori sono l'
> "energia" dei suoi autostati (questo mi pare pacifico!!!). Allo stesso
> modo la variabile canonica k deve diventare in meccanica quantistica un
> operatore: la mia proposta e' che i suoi autostati siano di "durata"
> fissata (ad esempio potrebbero essere stati di particelle che decadono dopo
> un tempo preciso, senza dispersione temporale).
>

Mi dispiace, non ho capitio niente :-(


> Cosa succede quando l' Hamiltoniana non puo' essere una nuova variabile
> canonica? In meccanica quantistica E e k saranno comunque degli operatori
> per il sol fatto di essere funzione degli operatori p e q,

Scusa ma quasta e` uno slogan in generale falso (vedi anche sotto)
Se hai due operatori le cui misure spettrali non commutano
non c`e` alcun modo generale, anzi in generale *e` impossibile*, di
definire le funzioni di tali operatori (di entrambi gli operatori
insieme). Se qualcuno ti ha detto il contrario ti ha mentito!
Ci sono casi particolari dove l'associazione dell'operatore
e`abbastanza univoca (es. operatori del tipo Schroedinger),
ma in generale non e` cosi'.


>
> Anche quando scrivo l' Hamiltoniano ho una funzione di due operatori che non
> commutano: eppure me la cavo (scrivendo p come la derivata in q, il che
> deriva dalle relazioni di commutazione); inoltre anche quando scrivo una
> qualsiasi osservabile fisica ho da maneggiare una funzione di p e q e me la
> DEVO cavare se voglio dare un senso alla teoria!!!

Infatti mica e` detto che tutto quallo che scrivi classicamente abbia un
senso
quantistico. In questi casi e` la matematica che dice se la cosa puo`
avere
senso o no (la fisica dice l'ultima parola pero').
Se prendi operatori di tipo Schroedinger P^2 + V(x) che sono
combinazioni lineari
di osservabili, allora c`e` essenzialmente un unico modo di definirli
come
operatori autoaggiunti rappresentanti osservabili (non la faccio lunga
ma
la cosa e` abbastanza complicata anche in questo semplice caso), ma se
prendi
funzioni piu` complicate (solo di poco, basta che prendi una funzione
trascendente) allora e` impossibile avere una ricetta generale.


> Ansi, ugual paradosso si
> avrebbe per operatori "canonici" il cui spettro e' si' non limitato, ma
> discreto, e non composto da TUTTI i multipli interi di tutti gli
> autovalori non multipli tra loro: se nello spettro non ci sono tutti i
> multipli di un certo autovalore A, dopo un po' di traslazioni di passo A
> vado a finire su un autovalore che non esiste!!!

Infatti non ho capito tutto quello che hai scritto ma credo che tu
abbia ragione: in quei casi la teoria quantistica
e` mal posta e a cose classica NON corrisponde niente di quantistico.
Per esempio Dirac stesso prese un granchio pensando che il momento
angolare lungo un asse e l'angolo di rotazione attorno a tale asse
fossero variabili coniugate quantistiche... mi pare che sul Davidov
ci sia una spiegazione abbastanza da 'fisici' sul perche` questo e`
impossibile...

> Pertanto, questo argomento, piu' che minare il ruolo di operatore della
> variabile fisica tempo, mina in generale tutta la ricetta della
> quantizzazione canonica,

Ma e` vero! La ricetta della quantizzazione canonica
"funziona quando funziona": e` solo una guida spesso buona,
ma non infallibile e nemmeno l'unica, e bisogna vagliarla
con tante altre cose sia fisiche che matematiche.
Ci sono un mucchio di esempi in vari campi: in teoria dei campi
produce dei disastri con il campo elettromagnetico e tutte le
teorie di gauge (ma anche per i campi di spin intero massivi)
e per uscirne bisogna faticare non poco...c`e` gente che e` diventata
famosa occupandosi di quel problema.
In fondo la meccanica classica NON determina quella quantistica, nemmeno
a livello di osservabili significative.
Per esempio si trova scritto sui libri che le trasformazioni canoniche
"corrispondono" a trasformazioni unitarie in MQ. Anche qui a voler
prendere
alla lettera la cosa vengono fuori dei problemi. Non la faccio lunga
perche`
non ho tempo, se ti capita procurati il bel libro "Le radici della
quantizzazione" di Sandro Graffi della collana Quaderni di Fisica
Teorica
edito Dall'universita' di Pavia (magari scrivi all'autore).
Ci sono un bel po` di cose del tipo di quelle che ti interessano sul
rapporto
tra teoria canonica classica e quantistica e vedrai che le cose non sono
*per niente banali* quando cerchi davvero di andare a fondo nelle solite
"ricette" che si raccontano nei corsi.

Senti io direi di chiudere qui questa discussione, tanto io non saprei
piu` cosa dirti e ora dovrei finire di scrivere un articolo per cui
chiudo per
un po' con il NG. Forse Elio Fabri, che e` tornato, ha voglia di
continuare
la discussione su queste interessanti e complicatissime questioni.

Ciao, Valter
Received on Fri Aug 10 2001 - 15:20:47 CEST