Le variabili canoniche in meccanica classica (ex: Ancora sul Tempo in meccanica quantistica)

From: Fabrizio del Dongo <fabrizio.deldongo_at_virgilio.it>
Date: Sat, 04 Aug 2001 23:41:35 GMT

Ho cambiato titolo perch� seguo il consigliodi Antonello: forse la
discussione precedente non � abbastanza interessante (o comunque non mi pare
siano venute fuori novit�, oltre alla iniziale osservazione sullo spettro
limitato dell' energia).
A questo punto mi interessa pi� verificare la mia comprensione della
meccanica classica, in particolar modo delle trasformazioni canoniche.
A parte evidenti errori (in tre dimensioni dico che i sistemi con variabili
canoniche tempo ed energia sono quelli coulombiani, cio� del tipo cost
r^(-1), non cost r^(-2), naturalmente), cercher� di esprimermi con pi�
precisione.

Una trasformazione canonica non ha solo la propriet� della linearizzazione
detta da Valter (la linearizzazione di una trasformazione canonica � una
matrice la cui inversa gode di certe propriet�), ma � anche definibile a
partire da una "funzione generatrice".

Sul libro di G.Gallavotti (Meccanica elementare, in versione sia italiana
che inglese) la canonicit� delle variabili energia e tempo di certi sistemi
� dimostrata (a mio modo di vedere) negli "Schemi di esercizi"di pag 229
della versione italiana, per i sistemi unidimensionali, e a pag 289 per il
sistema kepleriano.

Nel primo caso, si passa dalle variabili (p,q) alle variabili (E, k), ove la
prima � l' energia del sistema, tramite la funzione generatrice

 S(E,q)=\int_0^q \radice[2m(E-V(x)] dx

 ove V(q) � il potenziale, m � la massa. E' facile rendersi conto che la
derivata di S(E,q) rispetto a q d� l' impulso: allora trattasi di una ben
posta funzione generatrice; la derivata di S(E,q) rispetto ad E sar� allora
la definizione della nuova variabile k, la cui espressione non scrivo
esplicitamente. Quel che conta per l' interpretazione di k, infatti, � solo
che (E,k) sono canoniche: la Hamiltoniana nelle nuove variabili sar�
semplicemente la funzione identit� nella variabile E:

H(p,q)=H'(E,k)=E

e dalle equazioni di Hamilton segue che E(t) � costante (come ci si
aspettava) e, soprattutto, che k(t)=t !!!
Allora la seconda variabile canonica � il tempo.


Nel caso del problema kepleriano, si ragiona allo stesso modo, ma in
coordinate polari: a pag 288 si parte gi� dal moto kepleriano sul piano:
dalle coordinate (P_\rho, P_\theta, \rho, \theta) si vuole passare alle
variabili (E, A, k,h) tramite la funzione generatrice:

S(E,A,\rho,\theta)=A\theta + \int_0^\rho \radice[2m(E-V(x)+ (A / \rho)^2)]
dx

ove V(\rho) � il potenziale kepleriano ed (A/\rho)^2 � il potenziale
efficace che viene fuori in coordinate polari dal momento angolare A.

Si vede che le derivate di S(E,A,\rho,\theta) rispetto a \rho e \theta danno
proprio P_\rho e P_\theta rispettivamente, quidi la funzione generatrice va
bene. Come sopra si dimostra che le equazioni del moto danno k(t)=t !!!

Mi pare, a questo punto, che quantizzare k significhi quantizzare il tempo.
Come si risolva il problema dello spettro limitato dell' energia non lo so.
Dico solo che in quest' ottica, il fatto che lo spettro dell' atomo di
idrogeno in meccanica quantistica ha un solo numero quantico (cio� �
degenere nel momento angolare), mentre, ad esempio, l' oscillatore armonico
ha anche un numero quantico riferito al momento angolare, non �
sorprendente.
Received on Sun Aug 05 2001 - 01:41:35 CEST