Re: onde armoniche

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: Thu, 09 Aug 2001 13:37:47 +0200

Elio Fabri wrote:
>
> Valter Moretti ha scritto:
> > Ciao, in effetti era quello che sapevo. Pero` sono riuscito a
> > provarlo solo per onde sinusoidali. Sei sicuro che valga anche
> > in generale? (per onde *sonore*.)
> > Come lo dimostri?
> Ti rispondo a memoria, senza fare conti e senza consultare libri.
> Percio' prendi la risposta con beneficio d'inventario.
> Avrai un'eq. delle onde, che puoi derivare da una lagrangiana.
> Dalla stessa lagr. ricavi il tensore energia-impulso (in una teoria non
> rel. non parlero' di un tensore nello spazio-tempo, pero' le varie
> componenti si costruiscono ugualmente e hanno lo stesso significato).
> Il tensore di cui sopra ha fra le sue componenti il "vettore di
> Poynting", che e' proprio l'intensita' dell'onda.
> Dato che il tensore e' quadratico nel campo, il gioco e' fatto.

>
> Naturalmente caso per caso si puo' arrivare al risultato per via piu'
> elementare, senza scomodare il formalismo lagrangiano, cosi' come dalle
> eq. di Maxwell puoi ricavare densita' di energia e vettore di Poynting e
> dimostrare che div S + dU/dt = 0 nel vuoto.
>
> Ti torna?

No non mi torna del tutto: e` quello che ho provato ieri sera a fare,
ma non ci sono riuscito fino in fondo...
Quello che tu dici funziona sicuramente se prendi il campo
elettromagnetico
espresso in E e B che sono derivate dei campi che compaiono nella
lagrangiana.
Se usi il tensore degli sforzi di Maxwell (cioe` la parte spaziale
di quello energia impulso) ed il suo flusso (cioe` la parte T_{i0})
ottieni quello che dici tu: la densita`superficiale di potenza e`
quadratica nei campi E e B, ma questo e` nient'altro che il teorema di
Poyning ed e` legato pesantemente alla forma della lagrangiana.

Quello che non capisco bene e` che cosa si intenda con energia
o potenza trasportata dall'onda o roba simile per onde sonore.
Voglio dire l'aria e` un continuo e l'onda e` una deformazione
di esso. Dato che e` un continuo avra` un tensore degli sforzi S.
Pensiamo ad un'onda sferica (oscillazioni radiali longitudinali).
Prendo una sfera di continuo concentrica alla sorgente ad
un tempo t attraversata dall'onda.

E` facile calcolare la densita` potenza degli sforzi del continuo
esercitati su tale superficie (di continuo), basta considerare
S^{ij} N_j V_j dove N_j e` il versore normale uscente e V la velocita`
 (radiale dell'onda) esercitata su tale superficie.
Per un fluido S^{ij} = -p delta^{ij} per cui la densita` di potenza
sarebbe nel caso considerato

                               -p|V|

V e` la derivata del vettore di deformazione e *non* e` proporzionale
a p che pure oscilla. Ma e` sbagliato dal principio perche` non e`
quella che ho calcolato la densita` di potenza che interessa (e` cosi`
vero?) anche se in genere si e` molto fumosi su queste cose.

Riguardo al flusso di impulso che e` piu` facile da trattare, il teorema
di Poynting per un continuo classico (aria che vibra) suona come, dove m
e` la densita` di massa:

(mV^k),t = (S^{ik} - m V^k V^i),k = 0

mV e' la densita' d'impulso del continuo. Pero` questa non ci
interessa. Per il flusso di energia si ha invece

(mV*V/2),t = (S^{ik} V_i - m V*V V^k /2),k - S^{ik}D_{ik}

D_{ik} e` il tensore di velocita` di deformazione. Nel caso di
un continuo elastico lineare si riesce a definire una densita' di
energia interna elastica u legata a S^{ik}D_{ik} e l'equazione
di sopra diventa

(mV*V/2 + m u),t = (S^{ik} V_i - m V*V V^k /2 - m u V^k),k (1)

u e` proporzionale ai quadrati delle derivate spaziali del vettore
di deformazione (ci vogliono i parametri di Lame' per scriverlo
esplicitamente e anche per esprimere S).
Ora credo che uno debba prendere una superficie attraversata dall'onda
longitudinale (la superficie e` quindi normale a V e si debba integrare
S^{ik} V_i - m V*V V^k /2 - m u V^k normalmente a tale superficie e
trovare
che

P = S^{ik} N_k V_i - m V*V V^k N_k/2 - m u V^k N_k =
    S^{ik}N_k N_i |V| - m (|V|^3)/2 - m u |V|

e` proporzionale a quadrato di qualcosa (la pressione, la densita`
qualcos'altro?). Mi pare un miracolo. Ma vorrei trovare il calcolo
fatto da quanche parte.
Tra l'altro bisogna anche vedere come la pressione entra in gioco
(pensado le vibrazioni adiabatiche ecc...) ma legare cio` ai
parametri di Lame' non mi pare banale.
Io purtroppo non ho mai studiato acustica, per cui non saprei
come andare avanti. (certo basterebbe prendere un libro, ma
chi ne ha iltempo?)

Ciao, Valter
Received on Thu Aug 09 2001 - 13:37:47 CEST